極限の応用問題（再質問）

質問

いろいろな方に解答していただき大体理解することが出来ましたがまだ分からないことがあるので教えてください。

数列anは0<a1<3とa(n+1)=1+√(1+an)を満たしている。n=1,2,3,4・・・とする。さらに、0<an<3と3-a(n+1)<1/3*(3-an)も満たしている。数列anの極限値を求めよ。

疑問点
実は3-a(n+1)<1/3(3-an)の式も小問として証明するのですが、
3-a(n+1)＝2-√(1+an)＝3-an/2+√(1+an)＜1/3*(3-an)とあっさり終わっています。「2-√(1+an)＝3-an/2+√(1+an)」という式はどうして思いついたのでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

2-√(1-a_n) = 3-a_n/2+√(1+a_n)
は成り立ちません．そうではなく，
2-√(1-a_n) = (3-a_n)/(2+√(1+a_n))
ですね．

示すべき式が与えられているため，
2-√(1+a_n) = (3-a_n)/f
となるa_nの式fがあるかもしれない，と考えれば思いつくかもしれませんが，
率直に言って，ふつうこのような変形はしないでしょう．

いま，3-a_{n+1} = 2-√(1+a_n)を，
2-√(1+a_n) < (1/3) * (3-a_n)
のように，上から押さえたい．
そのためには，√(1+a_n)を小さく見積もればよい．

y=√(1+x)のグラフを描けば分かるように，0<x<3において
√(1+x) > x/3 + 1
が成り立つ．（y=x/3+1は(0,1)と(3,2)を通る直線，一般に√xは上に凸であり，0<x<3でこの直線より上にある．）

0<a_n<3がすぐにわかる（あるいは与えられている）から，
√(1+a_n) > a_n/3 + 1
である．したがって，
2-√(1+a_n) < 2 - (a_n/3 + 1) = 1 - a_n/3 = (1/3)*(3-a_n)
であり，示すべき式が得られた．

回答No.2

mis_take

分母の有理化
1/(√3-1)＝(√3+1)/(√3-1)(√3+1)＝(√3+1)/2
のような変形はご存知でしょう。
極限の計算などで，逆に分子の有理化というのもよく使います。
x→∞とするとき
√(x^2+2x+3)-x={(x^2+2x+3)-x^2}/{√(x^2+2x+3)+x}={2x+3}/{〃}
のようにです。
ご質問の変形も
2-√(1+a_n)={4-(1+a_n)}/{2+√(1+a_n)}={3-a_n}/{2+√(1+a_n)}
で，分子の有理化をしたのです。

お礼

あぁっとおもいました。どうもありがとうございました。

no1の方の解答もグラフで解決することが改めて重要だなぁと思いました。とてもためになりました。