物理学を学ぶにあたっての数学勉強法

質問

物理学科１回生の者です。
自分で勝手にどんどん勉強していこうかと思っているのですが、数学をどのように勉強すればよいか迷っています。というのは、定理や公式の厳密な証明をちゃんと勉強すべきでしょうか？
具体的に言うと合成関数の微分で

dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

というようになりますが、なぜこうなるかというちゃんとした証明は勉強するべきなのでしょうか？
あとε-δ論法も勉強したほうがよいのでしょうか？
もちろん、それらを理解できるに越したことはないと思いますが、証明をよんでもいまいち理解できないのでなかなか進みません。
アドバイスお願いします。

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

ことを物理をちゃんと理解するための道具を手に入れる、と割り切ってしまうなら厳密な証明はあまり必要ではありません。むしろ幅の広さのほうが要求されると思います。物理の数学といっても分野によっていろいろありますし、厳密より広範が大切でしょう。
もっともおっしゃるようにちゃんと理解していたほうがいいのは当然です。小さい話では私、物理から数学に転びました。また教師稼業の友人で数学の方が採用がいいっていう理由で数学の免許とってやっている人もいます。こういう場合はやっぱりどこかでしっかり理解し直す必要があるでしょう。
大きい話だとフィールズ賞（数学のノーベル賞みたいなやつ）もらった人の中にあのM理論のウィッテンがいたりします。まあこの人の場合もともと歴史学専攻で物理は趣味、大学院は数学、なんていう人物なのでちょっと例外中の例外かもしれませんが。

お礼

ウィッテンさんの話は本で読んだことがあります。
やはり数学と物理は密接に関係しているのだな、という印象を受けました。
大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.4

toranekosan

物理学を勉強する上で、公理などの厳密な証明がきちんと出来るというよりも、物理学を学ぶ上でどのようにモデルを定式化していく（方程式の構築）時に正しい感覚で数学的な論理を展開できるという方が重要な要素になってくるかと思いますよ。数学に苦手意識をもつようでしたら、物理数学の入門編テキストが出ていますのでそこから始めてみてはどうでしょう？

ひょっとしたら、ε-δ論法で議論する対象が出てくるかもしれませんし、合成関数の微分方法の厳密な証明の知識が必要な対象が出てくるかもしれませんが、大学院にいってもそんな物理対象はお目にかかる事はないかと思います。しかし、調べて、ああそうだったっけ、程度の認識は最低限欲しいですね。厳密な証明にこだわる事はないかと思いますよ。

合成関数の微分の厳密な証明って・・・なんだっけ？？

y=g(x) y=f(u) u=h(x)
g=f*h
u'=h(x+e)

dy/dx=lim(e→0) { (g(x+e)-g(x))/e}
=lim(e→0) {(f(h(x+e))-f(h(x))/e}
=lim(e→0) {(f(u')-f(u))/(u'-u)*(u'-u)/e)}

u'をeに対して展開すると
u'=h(x)+A(x)*e+AA(x)*e^2+・・・
u'-u=A(x)*e+AA(x)*e^2+・・・
　　=e*(G(x,e))というG(x,e)という関数が存在する。
h(x)が微分区間内に連続であるならば、G(x,e)はxに対して最大値が存在し、ある有限な実数Mに対して、G(x,e)<=Mである。(G(x,e)=dh/dx+d^2(h)/dx^2*e*1/2+・・・）
0<=u'-u<=e*Mとなり、e→０に対して、u'-u→０である。

lim(e→0) {(f(u')-f(u))/(u'-u)}=lim(u'→u){(f(u')-f(u))/(u'-u)}
=dy/duという極限値を持ち、
他方
lim(e→0){(u'-u)/e}=lim(e→0) {(h(x+e)-h(x))/e}=du/dx
という極限値を持つ。

故に、
lim(e→0) {(f(u')-f(u))/(u'-u)*(u'-u)/e)}=dy/du*du/dx=dy/dx

て、言うのじゃダメ？？どのへんが厳密化と聞かれると困るな・・・。

お礼

ありがとうございます。証明についても、正直今は理解できていませんが、参考にさせてもらいます。
手間をかけていただき、本当にありがとうございました。

回答No.3

KENZOU

すでに明快な回答がなされていますので、以下は蛇足です。
遠い昔の学生時代、
＞定理や公式の厳密な証明をちゃんと勉強すべきでしょうか？
という悩みを一度ならず持ったことがありました。そこでその経験から少しアドバイスをします。物理学科１回生で、これから物理の世界に入っていくにあたり、”数学を武器として使っていくが、ええ加減な数学の理解ではすぐ武器としての数学が使い物にならなくなってしまう”という心配を仮に抱かれていたなら、それは心配ご無用といえます。純粋数学は大変抽象的な学問で、対象にもよりますが、その厳密な証明等をマスターしようとすれば大抵そこで挫折してしまう(笑い）。
＞具体的に言うと合成関数の微分で
dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
というようになりますが、なぜこうなるかというちゃんとした証明
物理を学習するのにその証明がどうしても必要になるのであれば別ですが、普段これは演算子の掛け算というテクニックで処理できますから証明まで必要ないと思います。
＞ε-δ論法も勉強したほうがよいのでしょうか
ε-δ論法を厳密に勉強するとなると集合論の世界にまで足を踏み込まなければなりません。今の段階では不要でしょう。といってもε-δの概念的な捉え方は知るに越したことはありません。
物理でその内量子力学を学習されると思いますが、この世界に入ると、もう数学的な証明に気をとられてばかりいてはさっぱり勉強が進まないということになります。
以上、大変粗っぽいアドバイスでしたが、決していい加減に数学を勉強すればいいといっているのではありません。＃２のbibendumbibendumさんが仰ってるように大学は便宜的な勉強をするとことではありません。持てる力をフルに発揮して学問を追求していく場です。この持てる力を如何に有効に発揮するか、そのためにはどうしておくべきか、、、これは各人各様のやり方でノウハウを溜めていかねばなりません。例えば、数学は単なる武器と割り切ってひたすらその技術的な側面を利用する。しかし、ある時期、どうもそれだけではとなったら今度は数学的側面を勉強して補強していく。このスパイラルな取り組みで進めていくべきと思いますが、いかがでしょうか。

お礼

ありがとうございます。経験者からのアドバイスということで、大変参考にさせて頂きました。
スパイラルな取り組みも参考になりました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

bibendumbibendum

ε-δは私の人生の中で大学1年のときしか現れませんでした。
たぶんε-δを知らなくてもずっと物理をやっていくことは可能だと思います。しかし使わないから勉強しないというのは専門学校的な考え方で最高学府で勉強する態度ではないと思います。極限を厳密に定義したε-δについて教養という観点からも学習をすべきだと思います。100％理解できなくてもいいから、先人たちの苦労を味わってください。

大学では
一歩一歩着実に理解しながら進む。
とりあえず理解できないところがあっても先に進んでみる。ある程度すすんでから振り返ってみると今までなやんでいたのが不思議なくらい理解できている。
この２つをうまく組み合わせて勉強するべきです。

ある定理を証明できるということは、その定理を理解できたということとほぼ等しいと私は思います。厳密でなくてもいいから。証明を勉強しなかったら、定理を暗記するだけが勉強になってしまいますよ。

お礼

ありがとうございます。甚く感銘いたしました。
早く先へ進みたいと思うあまり、「着実に」ということを考えておりませんでした。
浅はかであったと反省しております。
理解できないのであれば、理解できないなりにもじっくりと思慮深く考えていこうかと思います。
本当にありがとうございました。