オイラーの公式にsinx+icosxをかけると・・・

質問

オイラーの公式の右辺にsinx+icosxをかけるとiになりますが、e^(ix)*(sinx+icosx)=iということはどういうことを示しているのでしょうか。

回答No.3

masudaya · ベストアンサー

#1の人のでもいいですが,補足です.

sinx+icosx=cos(π/2-x)+isin(π/2-x)=exp(i(π/2-x))

∴e^(ix)*(sinx+icosx)=exp(ix)*exp(i(π/2-x))
=exp(i(π/2-x+x))=exp(iπ/2)=cos(π/2)+isin(π/2)
=i

となります.つまり

sinx+icosx=exp(i(π/2-x))

ということも示しています.
#1さんは
sinx+icosx=i(exp(-ix))
を示しています.

お礼

ご教示有難うございます。勉強させて頂きます。左辺にもiが入っていますから右辺がiだけになってもiとは何かについては何も教えてくれないのでしょうか。

回答No.6

ruto

sinx＋icosxはe^i（π/2－x）になるこれにe^ixを掛けるとe^iπ/2となる
e^iπ/2＝cos(π/2)＋isin(π/2)＝iとなる。
いまa＝cosx＋isinxとしこれに(sinx+icosx)を掛けるとｉになる。これはベクトルaをπ/2－xだけ時計方向に回転したことになる。すなわちaはxだけ横軸に対して角度がありこれにπ/2－x+x＝π/2　すなわち横軸に対して９０度+方向になる。これにiを掛けると横軸に対して１８０度＋方向になる。iを掛けるごとに９０度ずつすすむということです。iは単に縦軸方向の＋を表すと理解すればいい。-iは縦軸の下方向です。

お礼

数学は勉強になります。ご教示をありがとうございました。

回答No.5

springside

No.2です。

>>iというもののイメージというか、意味するところを理解する糸口にならないだろうかとは思いましたが、

まさに、こういうことを最初から質問の中に書くべきと考えます。
何故、このような「質問の真意」を最初から書かないのですか？
（書いていただけないと、回答する側が疲弊するだけです。）

お礼

私の頭の中ではオイラーの公式とｉとが両方ともわからないものとして雑然と存在しているので自分でも何が何だかわからないため、たいへんご迷惑をおかけいたしました。深くお詫び申し上げます。

回答No.4

masudaya

iとは何かという質問であれば,そのように聞いていただかないと,察しが悪いので,分かりません.

i^2=-1というのが,iです.
それだけでは,なんなので・・・
iというのは,実数では表せない,次元の異なる数です.
なので,a+biという複素数は,複素平面上にプロットされます.また,複素数は体を作りますので,四則演算が自由にできます.(次は,４元数というものになるそうです.)
a+biはオイラーの公式を用いて
a+bi=√(a^2+b^2)*exp(i(tan^(-1)(b/a)))
と表せ,長さr=√(a^2+b^2)と実数軸とこの複素数と0点とを結ぶ線分がなす角tan^(-1)(b/a)からも複素数が表現できます.(極座標のようなものですね.)
複素平面で言うとiは
exp(iπ/2)=i
なので,π/2=90度回転させるものになります.

お礼

どうも申しわけありません。ご丁寧に有難うございます。

回答No.2

springside

単に、計算したらそうなった、というだけのことでしょ。

またいつものように、「発想」、「意図」、「真意」を隠したままの質問なので、回答も上記のような簡素なものにならざるを得ないわけですが、どのようなことをお考えなのですか？

お礼

iというもののイメージというか、意味するところを理解する糸口にならないだろうかとは思いましたが、別に何かを隠しているということはありません。

回答No.1

pyon1956

オイラーの公式は
e^ix=cosx+isinxですからたしかにかけるとiになりますが・・・・
sinx+icosx=i(cosx-isinx)=i{cos(-x)+isin(-x)}=ie^(-ix)ですから
e^(ix)*ie^(-ix)=ie^(ix-ix)=ie^0=i*1=i
単純にこれだけなんでは？

お礼

意味がないところに意味を求めようとしていたようです。勉強させて頂きます。ご教示感謝いたします。