オイラーの公式に関する素朴な疑問

質問

有名なオイラーの公式　e^(ix)=cosx+isinxで isinx を移項してみるとcosx=e^(ix)-isinxとなりますが、左辺が実数であるとすれば右辺も実数に違いないはずですが、右辺も実数であることは一見しただけではわかりません。右辺が実数であることをオイラーの公式を使わないで納得できるためにはどのような知識が必要でしょうか。

回答No.1

cyototu · ベストアンサー

こういうのはどうですか？

もし移項した式が正しいとすると、xを実数と仮定した場合の右辺の虚数部はゼロになります。その結果
[e^(ix)-e^(-ix)]/2=i sin(x)
となります。したがって、e^(ix)からそれ自身の複素共役を引いた物は虚数になって、虚数の定義に矛盾しません。ですから、虚数を部分的に含んだ式でも、その和が実数になることに矛盾していないことが示せたことになります。

この説明は、証明と言うわけではなく、提案した試みの公式（この場合移行した公式）が内部矛盾を含んでいないので、その公式は正しそうだと言う推論のときに物理学等でしばしば行われる論法です。

お礼

たいへんためになるご教示でした。勉強させていただきます。どうもありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

オイラーの等式から cos x = e^(ix) - i sin x となることが、
x が実数であるとき e^(ix) - i sin x が実数になることの
納得できる理由だと思いますが… そういう考え方は嫌いですか？
「公式より」が不満なら、オイラーの等式そのものを証明してしまえば
よいのだと思います。e^x, sin x, cos x を定義することから始めて…

お礼

本末転倒的な願望だったということになるわけですね。代数にも王道なしということでしょうか。勉強してみます。ご教示ありがとうございます。

回答No.3

cyototu

＃１です。

>オイラーの公式って実数と虚数の橋渡しをしているような気がする。

多分，質問者さんも＃２さんもすでにご存知で蛇足になってしまうかもしれませんが、この公式は実数と虚数どころか、数学に出てくる最も重要な数の橋渡しをしています。この公式にx＝π（円周率）を入れてみると、

e^(iπ) + 1 = 0

となります。ですから、虚数の単位 i と加法の単位元 0 と 積の単位元 1 が円周率 π と 自然対数の底 e という数学で最も重要な２つの無理数を通じて関係していることを表している式だからです。

お礼

xがπという一つの数字（特別に重要なものであるとは思いますが）だけでもこれほどのことを示すとすれば、この公式自体の大きさはとても私などには想像もできないほどのものなのでしょう。理解より憧れの方が私には合っているようにも思います。再度のご教示をありがとうございます。

回答No.2

noname#111804

オイラーの公式って本当に不思議です。

それで、オイラーの公式って
実数と虚数の橋渡しをしているような気がする。

お礼

私と同じような疑問を感じておられる方がおられて安心いたしました。御回答ありがとうございました。