分散既知の仮説検定

質問

正規分布N(μ,σ^2)の母分散はすでにわかっていて(σ^2=9)
標本平均X~を用いて仮説
H0,μ=100
H1,μ=110
このような検定を有意水準α=0.05でするとき
第2種の誤りβも0.05未満にしたい　
標本数nはどれぐらい必要なのかという問題です

あらかじめnとX~がわかれば
(X~-μ)/√(σ^2/n)という変換でt検定を行えばよいというのはわかるんですが
nを求めるとはどういう手順をふんでいけばいいんでしょうか？

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

> (X~-100)/√(σ^2/n) <= U
> の100はなぜ110ではないんですか？

検定統計量は(X~-100)/√(σ^2/n)であって、(X~-110)/√(σ^2/n)ではないからです。

> Uの値はわかりそうですが
> 最後の不等式でもでてくるX~はどう処理をすればいいんでしょうか

答えを書いてしまいますが、要は検定統計量が帰無仮説の下で棄却域に入る確率がα、対立仮説の下で受容域に入る確率がβとなることを考慮して、必要な標本の大きさを求めます。

Pr{}を括弧内の条件を満たす確率を表すとすると、有意水準0.05なのでU = 1.645とすれば帰無仮説が正しい場合に
Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) > 1.645 } = 0.05
となります。
一方対立仮説が正しい場合は、
Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)}
となりますが、この場合(X~-110)/√(σ^2/n) が標準正規分布に従うことに注意してください。
Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= -1.645} = 0.05
なので
1.645 - 10/√(σ^2/n)　<= -1.645
を満たせばβ <= 0.05となります。
従って、この不等式を解けば必要な標本の大きさは
n >= {(1.645 + 1.645)*σ/10}^2 = {(1.645 + 1.645)*3/10}^2 = {(3.29*3/10}^2 = 0.974
つまり、nは1以上となることがわかります。

図も作成して考えてみると良いと思います。

回答No.4

noname#227064

ANo.3
> 一方対立仮説が正しい場合は、
> Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)}
> となりますが、

すみません。
これでは意味がわかりませんよね。
「β=」が抜けてました。

β = Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)}

お礼

なんとなく感覚でわかってきました
詳しい解説、回答ありがとうございました

回答No.2

noname#227064

ANo.1
> となる確率が0.05であり、また、対立仮説が正しいときに
> (X~-100)/√(σ^2/n) > U
> となる確率が0.05未満になるようなnを求めればよいのです。

修正するのを忘れてました。
(X~-100)/√(σ^2/n) <= U
に訂正。
その後の不等式も同じです。

補足

すみませんがよくわからないです
(X~-100)/√(σ^2/n) <= U
の100はなぜ110ではないんですか？
Uの値はわかりそうですが
最後の不等式でもでてくるX~はどう処理をすればいいんでしょうか

回答No.1

noname#227064

> (X~-μ)/√(σ^2/n)という変換でt検定を行えばよいというのはわかるんですが

いえ、分散既知なのでいわゆるZ検定を行うことになります。

> H0,μ=100
> H1,μ=110

なので片側検定になります。
棄却限界をUとおくと、帰無仮説が正しいときに
(X~-100)/√(σ^2/n) > U
となる確率が0.05であり、また、対立仮説が正しいときに
(X~-100)/√(σ^2/n) > U
となる確率が0.05未満になるようなnを求めればよいのです。

帰無仮説が正しいとき場合、Uは(X~-100)/√(σ^2/n) が標準正規分布に従うことから決められますよね？
あとは、対立仮説が正しい場合で
(X~-100)/√(σ^2/n) > U
をうまく変形してnを求めます。