積分方程式の解き方を教えてください

質問

はじめまして。
次の積分方程式の解き方を教えてください。
ちなみにフーリエ変換のところで出てきた問題です

∫f(x)cosuxdx= 1 (0≦x＜1) , 0 (x＞1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(f(x)を求めよ）
よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

問題をきちんと書いてないようです。いけませんねえ。
想像するに、たとえば、
G(u)=∫f(x)cos(ux) dx
ただしx,uは実数で、積分はx=-∞～∞の範囲の定積分。
f(x)は実数から複素数への関数であって、
∀u(0≦u＜1 ⇒ G(u)= 1)
∀u(u＞1 ⇒ G(u) = 0)
である。
という問題じゃないでしょうか？

そうだとすれば、おおざっぱには以下のようにして解けます。（うるさいことを言えば、fがどんなクラスの関数なのか、とか議論しなきゃいけないんですが、それはさておき。）

　まず、∀u(cos(ux) = cos(-ux))ですから、
∀u(|u|＜1 ⇒ G(u)= 1)
∀u(|u|＞1 ⇒ G(u) = 0)
であることが分かります。さらに、G(u)の逆フーリエ変換をg(x)と書くと、
g(x) = (1/(2π))∫G(u)exp(iux)du 　(積分はu=-∞～∞の範囲）
= (1/(2π))∫cos(ux)du 　(積分はu=-1～1の範囲）
= sin(x)/(πx )
です。
　以上の準備をした上で、
f(x) = a(x) + i b(x)　　（a,bは実数から実数への関数）
と書くことにしましょう。
f(x)のフーリエ変換をF(u)と書くと、
F(u) = ∫f(x)exp(- iux)dx （積分はx=-∞～∞の範囲の定積分。以下同様）
　= ∫f(x)cos(ux)dx-i ∫f(x)sin(ux)dx
となります。そして、
G(u) =∫f(x)cos(ux)dx
　= ∫a(x)cos(ux)dx+i∫ b(x)cos(ux)dx
ですが、G(u)は実関数なので
∀u(∫ b(x)cos(ux)dx = 0)
従って、bは奇関数∀x（b(x)=-b(-x) ）でなくてはなりません。ゆえに
G(u) =∫a(x)cos(ux)dx
です。従って、
a(x) = g(x)+h(x)　（hは任意の、実数から実数への奇関数）
である。なぜならhが奇関数なら∀u(∫h(x)cos(ux)dx=0)だからです。
そこで改めて、実数から複素数への関数cを
c(x) = h(x)+ib(x)
と書くことにすれば、cは奇関数なら何でも良い。
ですから、答は
「f(x) = sin(x)/(πx ) + c(x)、ここにcは任意の奇関数。」
ちゅうことになります。

　もしf(x)を実数から実数への関数、と制限するなら、
「f(x) = sin(x)/(πx )+h(x)、ここにhは任意の奇関数」

　さらにf(x)を実数から実数への偶関数、と制限するなら、
「f(x) = sin(x)/(πx )」
が答になります。

　え？問題が違う？それは質問者の責任でしょ。

回答No.1

motsuan

右辺ですが、ｘで定義域を表しているようですが
左辺はｘで積分しておりｘを含まないため
等式の意味がよくわからないと思います。
cosux=cos(u x)だとすると左辺はuの関数になると思います。

あとは
左辺がフーリエ変換の実部であることから
右辺をフーリエ変換すればよいのでは？
（係数は定義によると思いますが、
　右辺のフーリエ変換の際にその係数を使って
　整合性をとればいいと思います。）

追加：
右辺は0≦xで定義されているようですが、
x<0は関係ないのでしょうか？だとすると
益々uが定義域の変数である可能性が高いと思います。
（cos()が隅関数であるため）