波動方程式

質問

以下の問題について質問します。
波動方程式∂^2φ/∂t^2=∂^2φ/∂x^2の解で初期条件φ(x,0)=exp(-x^2)
φt(x,0)=-xexp(-x^2)を満たすものを求めよ。

与えられた方程式(波動方程式)と初期条件を、それぞれ x についてフーリエ変換する。そうすると t に関して二階の常微分方程式が得られるので、それを解く。最後に、得られた解を x について逆フーリエ変換すれば答が得られるとのことですが初めの方程式(波動方程式)と初期条件を、それぞれ x についてフーリエ変換するという所から躓いています。どなたか途中の計算過程を教えていただけないでしょうか。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

問題の解き方と異なりますが簡単な方法で解けるような気がします。
一般解はφ(x,t)=f(x-t)+g(x+t)。t=0でf(x)+g(x)=exp(-x^2)
u=x-t,v=x+t,φt(x,t)=-fu(x-t)+gv(x+t)。t=0ではu,vはxとなり偏微分もxの微分と同じになります。d(-f(x)+g(x))/dx=-xexp(-x^2)。すなわち-f(x)+g(x)=(1/2)exp(-x^2)+C。これらの２式を解けばよいかと。

お礼

endlessriverさん回答して頂きありがとうございます。
d(-f(x)+g(x))/dx=-xexp(-x^2)。すなわち-f(x)+g(x)=(1/2)exp(-x^2)+C。これらの２式というのは上記の2式でしょうか。
これらの2式を解くとは具体的にはどのように計算すればよいのでしょうか。基本的なことばかり聞いてしまいすみません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.2

endlessriver

f(x)+g(x)=exp(-x^2)と
-f(x)+g(x)=(1/2)exp(-x^2)+C
の２式からf(x)とg(x)が簡単に求まります。
一般解はφ(x,t)=f(x-t)+g(x+t)だから
f:x→x-tおよびg:x→x+tとすればよい。

お礼

endlessriverさん、お答え頂きありがとうございます。
ヒントから計算すると結果は（解は）
φ（x,t）=1/4(3exp(-(x+t)^2)+exp(-(x-t)^2)
となったのですが計算はあっているでしょうか。
何度も質問してしまい申し訳ございません。
また時間がありましたらよろしくお願いいたします。