次のポアソン型積分方程式を解けという問題です。

質問

次のポアソン型積分方程式を解けという問題です。
x(t)-∫[0～t]((10e^-(t-τ))-6e^-2(t-τ))x(τ)dτ=t^2

わかる方がいましたら参考にさせて頂きたいです。
よろしくお願い致します。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

タイピングの簡略化のためτ=s,x(t)=xとします。

A(t)=int[0,t]exp(s)x(s)ds.
B(t)=int[0,t]exp(2s)x(s)ds.

(#0)x-10exp(-t)A(t)+6exp(-2t)B(t)=t^2.

微分して
(#1)x'+2x+10exp(-t)A(t)-12exp(-2t)B(t)=2t.

(#0)と(#1)とで、B(t)を消去。
x'+4x-10exp(-t)A(t)=2t+2t^2.
両辺にe^tをかける。
x'e^t+4xe^t-10A(t)=(2t+2t^2)e^t.
微分する
x"e^t+5x'e^t-6xe^t=(2+6t+2t^2)e^t.
両辺e^tで割って
x"+5x'-6x=2+6t+2t^2.

あとは普通の微分方程式と同じ。
係数は計算間違えしているかもです。
検算していません。

お礼

参考になります。
ありがとうございました！！

回答No.3

Ae610

ANo2です。
既にANo1様が微分方程式に帰着させる解法で解かれているようなので、ANo2は取り下げます。
（こんな計算やってられないので・・・！）
スミマセンでした。

回答No.2

Ae610

x(t)-∫[0～t]((10e^-(t-τ))-6e^-2(t-τ))x(τ)dτ=t^2
ポアソン型積分方程式??

x(t) = t^2 + ∫[0～t]((10e^-(t-τ))-6e^-2(t-τ))x(τ)dτ
であるから、これは第二種のV型積分方程式である。

よって第二種V型の解法手続きに乗っ取って逐次代入して計算することになると思う！
（何かえらく面倒な計算になりそう！！）

f(t) = t^2
K(t,τ) = 10e^-(t-τ)-6e^-2(t-τ)
λ = 1
・・・とした第二種V型

普通の積分方程式の教科書に解法の説明があると思うので、それを参考しながら計算してみて・・・！

お礼

参考になりました。
ありがとうございました！！