同値

質問

この前も、このような質問したのですが、やはり納得できず再度、質問します。
α＞1　β＞１　⇒　αβ＞１
が正しいか
α－１＞０　β－１＞０　⇒　αβ－(α＋β)＋１＞０
どちらが正しいのでしょうか？また根拠を教えてください。
と、この前は質問しました、そして同値ではないということがわかりました。
(1)同値でないのに、なぜ、２つ式がでるのか？根本的に理解できません。
(2)どのように、使い分けをすればよいのか。
とにかく、些細なことでもいいので、教えてくれるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.5

springside

なにやら、難しく考えすぎのような気がするんですが．．．。

まず、
　α>1 かつ β>1　⇒　αβ>1 ・・・(1)
は正しいです。
次に、
　α-1>0 かつ β-1>0　⇒　αβ-(α+β)+1>0・・・(2)
も正しいです。

しかし、
　αβ>1　⇒　α>1 かつ β>1
は正しくありません。なぜならば、例えば
　α=5, β=0.8
のとき、
　αβ>1
は成立しますが、
　α>1 かつ β>1
は成立しないからです。

また、
　αβ-(α+β)+1>0　⇒　α-1>0 かつ β-1>0
も正しくありません。なぜならば、
　αβ-(α+β)+1 = (α-1)(β-1)
ですが、例えば、
　α=-2, β=-3
のとき、
　αβ-(α+β)+1>0
は成立しますが、
　α-1>0 かつ β-1>0
は成立しないからです。

したがって、(1)、(2)ともに同値関係ではないということです。
同値関係になるのは、
　「A>0 かつ B>0」⇔「A+B>0 かつ AB>0」
です。（この問題の場合、A=α-1, B=β-1としてください）
［証明］
⇒は明らか。
←を示す。
まず、AB>0ということは、
　「A>0 かつ B>0」又は「A<0 かつ B<0」
ということである。
これらのうちで、A+B>0を満たすのは、
　A>0 かつ B>0
しかない。

使い分けも何もありません。同値関係は、
　「A>0 かつ B>0」⇔「A+B>0 かつ AB>0」
しかないのですから。

回答No.4

nucomewl

もっと単純な例を考えてみたらいかがでしょうか。
x = 5 ⇒ x > 3
これは正しいですよね。
x > 3 ⇒ x = 5
これは嘘だ。ということは、この二つは同値ではないです。
x=5, y=2 ⇒ x+y=7
だけど逆は嘘です。
#(P ⇒ Q)の逆というのは、(Q ⇒ P)のことを言います。

x > 0, y > 0 ⇒ x + y > 0
これは正しいけど、
x + y > 0 ⇒ x > 0
というのはおかしい。(x,y)=(-2,3)かも知れない。
x > 0, y > 0 ⇒ x + y > 0, x * y > 0
はどうでしょう。これは確かにそうです。
x + y > 0, x * y > 0 ⇒ x > 0, y > 0
これも実は正しいです。だから同値です。

つまり、
x > 0, y > 0 (0)
⇒
x + y > 0 (1)
という変形をした瞬間に、(0)の知っていたことを(1)は忘れてしまったのです。

でも、
x > 0, y > 0 (0)
⇒
x + y > 0, x * y > 0 (1')
という変形なら(0)の知ったことを何も忘れなかったのです。

x = 5 ⇒ x > 3 という変形は式の一部を忘れてます。
x = 5 ⇒ x > 0 という変形も式の一部を忘れてます。
でも、下の式の方が物忘れが激しかったです。

α＞1　β＞１　⇒　αβ＞１
α－１＞０　β－１＞０　⇒　αβ－(α＋β)＋１＞０
上の変形も下の変形も物忘れ(同値変形でない)をしています。
でも、物忘れの方法が違った、こんなイメージでどうでしょう。

数学の問題では、問題を解いて出した答えが物忘れしていないことが要求されてます。

> 数学では、正式には、
> α－１＞０　β－１＞０　⇒　αβ－(α＋β)＋１＞０
> の方を正解としています。
違いますよ。同値じゃない。(α,β)=(0,0)を代入。
左式が解ならばいじらなくていいです。

回答No.3

yuntanach

Ｘ軸上にα、Ｙ軸上にβをとるように図を描いてみればどうでしょうか？

α＞１、β＞１というのは、平面上の原点からみて
右上のＸ＝１の垂直線とＹ＝１の水平線で区分される
領域になります。これを領域１としましょう。

αβ＞１というのは、y = 1 / xの曲線で区分される、
原点からみて右上の曲線の外側と左下の曲線の
外側の二つの領域になります。
これを右上を領域２と左下を領域３としましょう。

(α－１)(β－１)＞０というのは、Ｘ＝１とＹ＝１の
直線で区分される、右上と左下の二つの領域になります。
これを右上を領域４と左下を領域５としましょう。

あるαとβの値の組が、α＞１、β＞１であるなら、
このαとβの組が表す平面上の点は
領域１にあるわけですが、
同時に領域２にもあることになります。
ただし領域２と領域１は図を書いてみれば明らかですが、完全に重なりません。領域２は領域１からはみでている部分があります。またαβ＞１のもうひとつ領域である領域３は完全に領域１の外側にあります。
しかし、領域１の範囲にあるものは必ず領域２の範囲に落ち着いていることは確かです。
これが、α＞１、β＞１⇒αβ＞１が表していることになります。

一方、(α－１)(β－１)＞０は領域４と領域５がありますが、領域４は完全に領域１と重なっています。
よって、領域１にある点は必ず領域４にもおさまっていることになります。
これが、α＞１、β＞１⇒(α－１)(β－１)＞０が表していることになります。

なぜ、α＞１とβ＞１から、αβ＞１や(α－１)(β－１)＞０など複数の式がでてきたのかというと、領域１を満たすような式は、はみ出てもいいことにすれば無数につくれるからです。α＞１とβ＞１の二つのしきを辺々掛け合わせてαβ＞１を作ったときには、αとβの両方がマイナスの場合を双曲線の式に追加してしまっています。
一方、α－１＞０とβ－１＞０の場合も同様ですが、
元になる式が双曲線ではなかったというわけです。

私の個人のホームページ上に作図して見ました。
参考にしてください。

参考URL：

http://www.mediaware.jp/yuntanach/blog/000132.html

回答No.2

kansai_daisuki

α＞1　β＞１　⇒　αβ＞１
と
α－１＞０　β－１＞０　⇒　αβ－(α＋β)＋１＞０
は、根本的に違います。

例のために、
[α＞1　β＞１]を(a)
[αβ＞１]を(b)
[α－１＞０　β－１＞０]を(c)
[αβ－(α＋β)＋１＞０]を(d)
とおきます。

(b)
⇔αβ＞１
⇔（くずしようがありません。）
(正確には、くずせるかもしれませんが、くずす気力もわきません。かなり大雑把な範囲になります。)

(d)
⇔αβ－(α＋β)＋１＞０
⇔(α－１)(β－1)＞０
⇔[(α－１)＞０&(β－1)＞０]
　または、[(α－１)＜０&(β－1)＜０]
⇔[α＞１&β＞1]または、[α＜１&β＜1]
⇔[α＞１&β＞1]または、[α＜１&β＜1]
∋[α＞1　β＞１]
⇔(a)

疲れてきました。。。
とりあえず。No1さんの解答の方が良いですね。

数学では、正式には、
α－１＞０　β－１＞０　⇒　αβ－(α＋β)＋１＞０
の方を正解としています。
解答の範囲を一番狭く変換できるからだと思います。
他の回答を出しても、大甘に採点しても△です。
これは、採点者が誰であろうとそうです。

回答No.1

shkwta

もうちょっと一般化して、
α-e＞f, β-g＞h
ここで、e + f = 1, g + h = 1,
f, hは正の数

とすると、
α＞1 and β＞１⇒（α-e)（β-g)＞fh

となるので、２つどころか、無限に式が作れます。

曲線　(x-e)(y-g)＝fh　は双曲線で、(1,1)を通ります。この双曲線の右上側の領域は、(x＞1 and y＞1)で表される領域をすっぽり包みます。

いろいろなf, hに対してグラフを描いてみると、よくわかると思います。

補足

返信ありがとうございました。
でも、まだ領域など習ってないので、もっと平たく説明していただけないでしょうか？