数学II同値変形についておしえてください。

質問

無理式を含む方程式を解く際に同値変形するのですが学校で教わったやり方が良くわからないので質問します。

√P（x)=Q(x)　で同値変形の条件は　P(x)≧０、Q(x)≧０となっているのですがなぜこういう風にいえるのですか？
なぜP(x)＜０という場合はないのですか？
愚問ですいません…

回答No.2

noname#47894 · ベストアンサー

> √P（x)=Q(x)　で同値変形の条件は　P(x)≧０、Q(x)≧０

P(x)＜０　だと、左辺が虚数になってしまいます。

虚数は数学IIでいずれ扱うはずです。実数は二乗すると０以上の実数になりますが、虚数はそのような性質がないものを言います。
純虚数は二乗すると負の実数に、それ以外の虚数は、二乗すると虚数になります。
実数と虚数全部まとめて、複素数といいます。

一方、右辺のQ(x)は、xが実数で、Q(x)も実数のものを扱っていることでしょうから
虚数＝実数となってしまい、うまくありませんね？
（＃１の方が答えていらっしゃるように、複素数を変数とする関数を扱う分野もあります。高校では、通常、実関数を扱うことでしょう。）

もう一つの方は、質問にはあげられていませんが、
P(x)≧０　のとき、√P(x)≧０　となりますので、左辺≧０
よって、Q(x)≧０でないと、うまくないというわけですね。

お礼

なるほど。とてもわかりやすかったです！
ありがとうございました。

回答No.1

A-Tanaka

こんばんは。
高校の数学IIですね。それだと、今はたぶん習って居ませんね。少しだけ、高校数学を超えて、大学一歩手前の数学について説明しましょう。

>なぜP(x)＜０という場合はないのですか？
普通では使わないのですが、complex number（複素）と呼ばれる範囲まで数を拡大すればあります。

小学校時代に自然数・整数と有理数を習いました。中学校時代に実数を習いました。たぶん、今の教科ではこうなっているのかな？そして高等学校時代にも、実数・虚数を習います。

これらの数の性質は、代数学という難しい名前の付いた学問のうち、体の性質と呼ばれる箇所で習うのですが、四則演算の可能な数の集まりと定義できます。

あなたの質問は、大学に入ってから習う「複素関数論」と呼ばれる分野が開拓された最初の疑問だと思うのです。
詳しくは、大学へ入ってから勉強してみてください。

参考文献：
* 熊原啓作,複素数と関数, 放送大学教育振興会, 2004
* 一松信, 複素数と複素平面, 森北出版, 1993
* 高橋礼二, 新版複素解析, 東京大学出版会, 1990