複素数の問題

質問

はじめまして。mopharmupharと申します。
こちらのカテゴリでは初めて質問させていただきます。
どうぞよろしくお願い致します。

ある問題の解答を見た時に、

|α - β|^2 = 4, |α| = |β|という条件より、
　_ 　_　　　　　　　　　　　　β
αβ + αβ = 2|α||β|cos arg― = |α||β|
　　　　　　　　　　　　　　　α

であるから云々～

という解説があったあのですが、どうしても理解することが
できません。
真ん中の式が余弦定理を使用しているらしいみたい
なことはわかるのですが・・・・
もしかしたら説明が足りないかもしれないですが、
どうかよろしくお願い致します。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

書いてある条件は二等辺三角形で底辺の２乗が４というだけなので他にも条件がありますね。

複素平面は分かりますか？

a+bi　に(a,b)を対応させます。
それがわかっていれば
α⇔点Ａ，β⇔点Ｂ　と対応させると
絶対値は距離になります。

｜α－β｜は２点間の距離ＡＢ
｜α｜＝ＯＡ
｜β｜＝ＯＢ

余弦定理
ＡＢ^2＝ＯＡ^2＋ＯＢ^2－２ＯＡ＊ＯＢcos∠ＡＯＢ
｜α－β｜^2＝｜α｜^2＋｜β｜^2－２｜α｜｜β｜cos（arg（β/α））

ここでさらに
絶対値の２乗は共役複素数の積を使います。
｜α－β｜^2＝（α－β）＊（α~－β~)　で展開します。

こういうのは結構掲示板に書くのは面倒なので
学校で先生に聞いてほしいと思います。
自宅浪人とかならいたし方無いですが。
（ちょっと余計なことまで書いてしまいました。
失礼しましたぁ。）

お礼

わかり易い解説、本当に参考になりました。

実は私も式を書き込むのに少し面倒くさかったり
しました(^_^;A

返信が遅くなり、大変すみませんでした。
もしまた質問させて頂いた時には、どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

eatern27

原点をO、αの表す点をA、βの表す点をBとすると、

OA＝|α|、OB＝|β|、AB＝|α－β|、∠AOB＝arg(β/α)
となります。(正確には、∠AOB＝arg(β/α)でない場合も考えられますが・・・)

△AOBで余弦定理より
AB^2＝OA^2＋OB^2‐2OA・OBcos∠AOB
に上のやつを代入して,|α－β|^2を整理すれば,
αβ~ + α~β = 2|α||β|cos{arg(β/α)}
(α~でαの上に－を書いたやつを表すことにしています)

となります。が、これが|α||β|に等しいか,というとそんな事はありません。他に条件はありませんか？

反例は,α＝2√2、β＝2√2iなどです。

お礼

返信遅くなりまして大変申し訳ございません。

丁寧なご解説、本当にありがとうございます。
実はこの問題は二問目なのですが、一問目で、
　　β
arg―　＝　±60°＋　360°×ｎ
　　α

という条件を導いておりまして、これを使用して
最後の右辺に導くのだとわかりました。