不定積分

質問

S{(1-x)/(1+x+x^2+x^3)dxを求めよ。

置換せずに求めることはできるのでしょうか？
よろしくご教授ください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

有理関数の不定積分は

(1)分子の次数が、分母よりも大きい場合には
分子を分母で割り
べき関数と、有理関数の和に分解する
(2)分母を２次以下の項の積に因数分解
(3)分母の積を部分分数展開
(4)各項を不定積分

と、このプロセスで一般的に解けます

具体的に解くと
　(1-x)/(1+x+x^2+x^3)=(1-x)/{(x+1)(x^2+1)}
　　　=1/(x+1)-x/(x^2+1)
　∫{(1-x)/(1+x+x^2+x^3)}dx=∫1/(x+1)dx-∫x/(x^2+1)dx
　　　=log|x+1|-(1/2)log(x^2+1)+C
となります

お礼

ありがとうございました。
よくわかりました。
置換しては解けたのですが、すっきりしなかったもので。