不定積分 無理関数 int

質問

Int 1/{x(x+1)^1/2} dx
を2回置換積分して解いたのですが、何度やっても答えが
2log|x+(x+1)^1/2|になってしまいます。

どなたかご教授お願い致します。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

1/{x(x+1)^1/2}
= {(x+1)^1/2}/x - 1/{(x+1)^1/2}
と因数分解できる。
∫ - 1/{(x+1)^1/2} dx=-2(x+1)^1/2

∫ {(x+1)^1/2}/x dx
(x+1)^1/2=tとおくと
∫ 2t^2/(t^2-1) dt
=2 ∫ 1+1/(t^2-1) dt
=2t+log|(t-1)/(t+1)|
= 2(x+1)^1/2 +log((x+1)^1/2-1)/((x+1)^1/2 +1)

答えはlog((x+1)^1/2-1)/((x+1)^1/2 +1)

お礼

その因数分解のやり方は思いつきませんでした。
本当に助かりました。
ありがとうございます！