計算の式を全部書いていると、私のタイプ能力では徹夜になりますので、せめて、考え方と途中経過を書いてみます。 (なお、・ は、掛け算の印です。)
ΔABCの頂角を、A ,B, Cで表します。また、各辺の長さをa, b, cとします。
BD = x として、ΔBDEとΔCEFは、それぞれ二等辺三角形です。底辺の長さは、与えられ、または、直角三角形ΔDEFの底辺ですから計算で求められます。 したがって、sin B/2, sin C/2が、を含んだ形で求められます。
直角三角形ΔDEFにおいて、∠DEF は、(B+C)/2 ですから、∠FDEは、A/2 となります。これで、sin A/2 が、x を含まずに判ります。
3角関数の倍角公式により、sin(A/2), sin(B/2), sin(C/2) から、cosA, cosB, cosC を、x を含んだ形で、出します。倍角公式とは、 cosΘ = 1-2(sinΘ)^2 です。この段階で小生の計算結果は、
sin(A/2)=3/√13、sin(B/2)=√13/x, sin(C/2)=3/√13、cosA=-5/1, cosB=1-26/x^2, cosC=1-18/x^2 となりました。
A+B+C=180度ですから、次の関係が成り立ちます。
cosA+cosB+cosC=1+4・sin(A/2)・sin(B/2)・sin(C/2)
この公式は、幾何の本に出ていると思いますが、証明が必要ならば、補足します。
この式の両辺に、上記の値を入れることにより、x^2が得られます。x^2 は、130となりました。
後は、このx^2を使って、cosA, cosB , cosC さらに、 slnA, sinB, sinC を計算します。
ΔABCにおいて、
b・sinC = c・sinB, および、 a = b・cosC + c・cosB が成り立ちます。
a = 2x =2√130=22.8ですから、これにより、b=14.9, c=12.6 となりました。
よって、ΔABCの面積は、ΔABC = 1/2(b・c・sinA) により、86.3 となりました。
すでに出ている答えと違いますが、計算間違いがあるかも知れず、検算してください。
お礼
回答いただきありがとうございます。 分りやすいです。(数十年前に数学習った身としては) 面積=429/5を導きだせました。感謝致します。