図形問題教えてください

質問

教えてください。
三角形ＡＢＣがあります。ＡＢ上にＤ，ＢＣ上にＥ，ＣＡ上にＦを取ります。
ＤＦ＝４，ＥＦ＝６で，∠ＤＦＥは９０°，またＤＢ＝ＢＥ＝ＥＣ＝ＣＦです。
三角形ＡＢＣの面積は？

回答No.5

seian · ベストアンサー

この問題の厄介な所は△ABCので始めていながら△ABCから描き始めると
うまくかけないところだと思います。
△DEFは形が決まっていますのでこれから書き始めればそれなりの絵が
描けます。
後は既にtaropooさんがその方法で書いていらっしゃるようなので、
座標の取り方はそれに倣います。
△DEFは直角三角形で、かつ△CEFは二等辺三角形なので
DEの中点とEFの中点および点Cは一直線上に並びます。
今、DFの中点を原点にとり、DFをx軸に平行にとっていますので、
上記の3点はx軸上にあることになります。
ここで3点A、B、Cの座標を(Xa,Ya)、(Xb,Yb)、(Xc,Yc)とおくと、
taropooさんがおっしゃるようにYc=0である事がわかります。
E：(2,-3)点はBとCの中点ですから、

2 = (Xb＋Xc)/2
-3 = (Yb＋Yc)/2

となり、これを解くとYb=-6、Xc=4-Xbとなります。
一方、△DBEは二等辺三角形ですからDB=BEとなります。
DB^2=(-2-Xb)^2+(3-Yb)^2
BE^2=(Xb-2)^2+(Yb+3)^2
ですから、これを上の等式にあてはめて解くとXb=-9と求まります。
これでXc=4-(-9)=13となります。
これでB:(-9,-6)、C:(13,0)が求まりましたので、
後はtaropooさんがおっしゃるように２直線の交点Aを求めるだけです。
ここから先は面倒なだけで計算ミスさえしなければできると思います。
以降の私の計算が正しいとすれば、
A:(-13/10,39/10)となり、面積は429/5となりました。
なお、面積の出し方はtaropooさんのやり方でもいいし、
△ABCに外接しx-y軸に平行な長方形から回りの三角形の面積を引いてもいいし、
公式に入れてもいいでしょう。
もう少し図形的な性質を使ってエレガントに解けるのかと思いましたが
私の能力では出来ませんでした。

お礼

回答いただきありがとうございます。
分りやすいです。（数十年前に数学習った身としては）
面積=429/5を導きだせました。感謝致します。

回答No.7

yacob

計算の式を全部書いていると、私のタイプ能力では徹夜になりますので、せめて、考え方と途中経過を書いてみます。 (なお、・　は、掛け算の印です。)

ΔABCの頂角を、A ,B, Cで表します。また、各辺の長さをa, b, cとします。
BD = x　として、ΔBDEとΔCEFは、それぞれ二等辺三角形です。底辺の長さは、与えられ、または、直角三角形ΔDEFの底辺ですから計算で求められます。　したがって、sin B/2, sin C/2が、を含んだ形で求められます。
直角三角形ΔDEFにおいて、∠DEF は、(B+C)/2 ですから、∠FDEは、A/2 となります。これで、sin A/2 が、x を含まずに判ります。

3角関数の倍角公式により、sin(A/2), sin(B/2), sin(C/2) から、cosA, cosB, cosC　を、x を含んだ形で、出します。倍角公式とは、　cosΘ = 1－2(sinΘ)^2　です。この段階で小生の計算結果は、
sin(A/2)=3/√13、sin(B/2)=√13/x, sin(C/2)=3/√13、cosA=－5/1, cosB=1－26/x^2, cosC=1－18/x^2 となりました。

A+B+C=180度ですから、次の関係が成り立ちます。
cosA+cosB+cosC=1+4・sin(A/2)・sin(B/2)・sin(C/2)
この公式は、幾何の本に出ていると思いますが、証明が必要ならば、補足します。
この式の両辺に、上記の値を入れることにより、x^2が得られます。x^2 は、130となりました。

後は、このx^2を使って、cosA, cosB , cosC　さらに、 slnA, sinB, sinC を計算します。
ΔABCにおいて、
　　b・sinC = c・sinB, および、 a = b・cosC + c・cosB　が成り立ちます。
a = 2x =2√130=22.8ですから、これにより、b=14.9, c=12.6　となりました。

よって、ΔABCの面積は、ΔABC = 1/2(b・c・sinA)　により、86.3　となりました。

すでに出ている答えと違いますが、計算間違いがあるかも知れず、検算してください。

お礼

回答いただきありがとうございます。
yacobさんの方法、もう少し勉強してみます。
（なかなか頭がついていかなくて）
この度は、たくさんの方々に回答いただき驚きとともに
恐縮しております。
　みなさん本当にありがとうございました。

回答No.6

sinjiro

ゴメンナサイ。イイカゲンな計算をしてました。

その後 他の方々の回答を読ませていただき 解いてみました。
力ずくの 計算ですね。
429/5でした。

エレガントに解けると良いですね。

お礼

なかなかエレガントにはいきませんね。
お手数をお掛け致しました。

回答No.4

newtype

∠Ｂ＝２Θ、∠Ｃ＝２Φとする。次に補助線ＤＥとＥＦを引く。
△ＣＥＦと△ＢＥＤは二等辺三角形より、∠ＢＥＤ＝∠ＢＤＥ＝π／２－Θ，∠ＣＥＦ＝ＣＦＥ＝π／２－Φ
∠ＡＦＤ＝π－｛π／２＋（π／２－Φ）｝＝Φ
∠Ａ＝π－２Θ－２Φより、
∠ＡＤＦ＝π－（π－２Θ－２Φ＋Φ）＝２Θ＋Φ
∠ＦＤＥ＝π－（２Θ＋Φ＋π／２－Θ）＝π／２－Θ－Φ…（１）
最後に∠ＤＥＦ＝π－（π／２－Θ＋π／２－Φ）＝Θ＋Φ…（２）
（１）（２）と∠ＥＦＤ＝π／２より、三角形ＤＥＦの内角の和＝π／２－Θ－Φ＋Θ＋Φ＋π／２＝πなので三角形の性質を満たす。この時点でsinjiroさんのアドバイスが違うことがわかる。

さて△ＢＥＤと△ＣＥＦで余弦定理を用いて計算して
√１３sinΦ＝３sinΘを導きました。
あとは誰かが解いてくれるでしょう。

お礼

回答いただきありがとうございます。
余弦定理、も少し勉強しないといけないようです。

回答No.3

guiter

とりあえず、
　ＤＢ＝ＢＥ＝ＥＣ＝ＣＦ＝ｘ
　ＡＤ＝ｄ
　ＡＦ＝ｆ
　∠ＣＡＢ＝ａ、∠ＡＢＣ＝ｂ、∠ＢＣＡ＝ｃ
などとして、△ＡＢＣ、△ＡＦＤ、△ＢＤＥ、△ＣＥＦについて
正弦定理の式を立て、後はひたすら文字を消去していきました。
その結果
　Ｓ＝ 429/5
になりました。

途中過程は頑張ってください。

お礼

回答ありがとうございます。
解法の一つとして正弦定理による事、勉強になりました。
確かにＳ＝ 429/5になりました。

回答No.2

sinjiro

∠EDB=∠BED=a,∠FEC=∠CFE=b にして 角度を計算して行くと（計算の順番はいろいろあると思いますが） ∠ABEから 反時計回りに計算して行くと 最後に ∠FDEが９０度になっちゃいました。
△DEFが 三角形で なくなりましたので この問題 間違ってないですか？？

図形で 示されていないので 私が間違えているかもしれませんが・・・。

回答No.1

taropoo

計算がかなりきついので方針だけ。

まず、線分ＤＥの中点を原点に取り、点Ｃをｘ軸正方向上に置きます。
この時点でD(-2, 3), E(2, -3), F(2, 3)が決まります。
ＣＦの長さはＣの座標を(x_c, 0)と置けば２点間の距離の公式からx_cで表せます。

一方、Ｂの座標はＥがＢＣの中点である事からE(-x_c + 4, -6)である事が分かるので
ＢＤの長さはやはりx_cの式で表せます。

この２式からx_cの値が求まり、点Ｂ，Ｃの座標が確定します。

４点Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｆの座標が求まったので、直線ＢＤと直線ＣＦの式が分かります。
この交点がＡなので点Ａの座標も求まります。

ｘ軸と直線ＡＢの交点をＮとして座標を求め、ＮＣを底辺として
△ＡＮＣ、△ＢＮＣの面積を高さをそれぞれＡ，Ｂのｙ座標とすれば面積が求まります。

後は２つの三角形の面積を足せば求める△ＡＢＣの面積です。

計算が面倒で、僕の計算だと x_c = 85/8 となりました。そこから
　　　　C(85/8, 0), B(-27/8, -6)
となりましたがその先も分数の計算が続いたのでめげました。

頑張ってください。

お礼

早速、回答いただきありがとうございます。
大きなヒントになりました。
本当に感謝いたします。