１＋１＝２は公理？

質問

１＋１＝２というのは公理なのでしょうか。それとも定義なのでしょうか。講義での課題なのですが定義と公理のそれぞれの意味を調べても１＋１＝２がどちらなのかわかりません。どなたかわかるかた教えてください。

回答No.1

proto · ベストアンサー

自然数論の分野でしょうか
自分も詳しくはないですがURLが参考になるかも知れません

参考URL：

http://akademeia.info/main/math_lecturez/math_number_taikei.htm#peano

補足

すみません説明不足でした（汗）
私は教育学部で算数の講義を受けているのですが、まったくの文系人間でこの問いがどのような分野なのかもよくわからない状態です。一般的に１＋１＝２は定理なのでしょうか？？

回答No.7

scale--free

私は、２というのはほかに定義がされていて、その定義から、
１＋１＝２
が成り立つ、と考えます。

数理論理学においては、＃５さんのように自然数を定義します。

公理（１）　０は自然数である。
公理（２）　ｎが自然数ならば、s(n)は自然数である。

このような公理のもと、自然数１と２を
1 = s(0)
2 = s(s(0))
と定義します。実際に、上の公理から１と２が自然数であることがわかります。

あとは、算術（足し算など）の公理を設定した後に、
s(0) + s(0) = s(s(0))
であることが示せて、１と２の定義から
１＋１＝２
という定理が示せるわけです。

以下のURLにある講義資料も参考になるかもしれません。
ただし、かなり難しいです。

参考URL：

http://www.i.kyoto-u.ac.jp/~ist/index.html

回答No.6

kansai_daisuki

特に誰かが定めたと言うわけではないので、定義ではないのでは？
即ち、１＋１＝２を誰かが定義したとすると、１＋２や１＋３、、、１＋１０００００などを全て定義しなくてはならず、定義と考えるのは無理があると思います。

　もう大学時代の記憶なので詳しく覚えていませんが、
集合（離散数学？情報工学？）だったか論理学だったかの授業で、結合則とかという法則があった気がします。
このような法則をいくつか満たせば、加算とみなせたという記憶があります。

　また、脱線しますが、定理とは、定義や法則や原理から導出された理論だったという記憶があります。

　次に、公理ですが、これは定理寄りの理論であった気がします。加算が結合則などを満たしていることを考えると、公理と呼ぶのが妥当だと思います。

　もう大学を卒業して長いため、記憶ですみません。
ただし、うろ覚えながら、合っているという確信もあります。

回答No.5

oni_1984

私も教育学部の学生です、ちなみに専攻は一応数学です。

♯１さんのURLにもあるペアノの公理系から自然数というものを捉えると、その和は次のように定義されます。

《定義》
自然数a,bに対し、(その和)a+bを次のように定める
(ⅰ) a+1=a'
(ⅱ) a+b'=(a+b)'
〈a'というのはaの後者(次にくる数)という意味〉

例（十進法を利用）
　(1)３＋１＝３'（＝４）
　(2)３＋２＝３＋１'
　　　　　＝（３＋１）'
　　　　　＝（３'）'
　　　　　＝４'
　　　　　＝５

このように和は定義されるので、１＋１は
１＋１＝１'
　　　＝２
というのは公理ではなく定義だと考えるのが普通です。　
ちなみにa'を「aの後者」と分かりにくい表現であらわすのは十進法以外でも自然数を捉えることができるようにするためです。

もし授業で自然数をペアノの公理系で捉えているのならば、上記が正解だと思います。ただ、自然数の定め方はもう1つ有名なものがあるので（♯３さんの立場です〉、その場合にはそれにあわせた和の定義が他にありますので何ともいえないです。

回答No.4

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足し算「＋」というのは、
二つのものに対して、ある一つのものを対応させるものです。
たとえば、１と２に対して３を対応させ、
１と３に対して４を対応させ、・・・というように。
１＋１が２なのは、
足し算というものにおいて、
１と１という組には２を対応させると定義していたからです。

１＋１が２なのは、
「足し算」の定義（の一部）です。

回答No.3

proto

じゃぁ間違いや勘違いを含んでいるかも知れませんが
自分の考えを書きます

まず数について
0を定め、その後に続く数を1と呼び
1の後に続く、数を2と呼び
と言うように0と自然数を決めていきます
これは、あくまで、そう呼ぶという話で
始めに自然数を一,二,三,四,…と呼んでも問題はありません

次に等号(＝)の公理系を決めます、具体的には
任意のxについて x=x
任意のx,yについて x=y ならば y=x
などです

次に二項演算(＋)について公理系を決めます、具体的には
任意のxについて x+e=e+x=xなる元e(零元)が存在する
任意のa,b,cについて a+(b+c)=(a+b)+c
などです

以上の事を公理系として決めれば
それらの公理から
1+1=2
が導かれるのでは無いでしょうか

以上の事から、結局素人の考えですが
1+1=2
は公理から導かれる定理？

回答No.2

chiropy

定義とは今後こういう考え方でやっていくというもの。公理は常に成り立つ事。ととらえると、
1+1=2は十進法（三進法以上）の考え方で二進法では1+1=10となるので常に成り立つわけではありません。こういう風に考えていくと言っているのです。だから定義ではないでしょうか？
すいません全然説得力無くて。