公理なのか定理なのか分かりません

質問

公理と定理の言葉の意味は知っています

質問
中学校の数学の教科書に出てくる等式の性質は、公理ですか？

質問の補足 : 一応先に調べたのですが、
下のURLで書いてある内容では、公理から導き出される定理と書いてありますが、内容の信憑性が証拠がない以上未知数なので、できれば１の質問に答えるにあたって、何かしらの証拠があると助かります

あとは、定理だったとして、その定理に使われている公理の名前は何ですか？
(https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11199841376)

回答No.4

f272

中学校の数学の教科書に出てくる等式の性質と言う例として
A=BならばA+C=B+C
を考えてみます。このとき当然に「=」は定義されていて，その上でA，B，Cなどはどんなものであるか(整数？有理数？実数？中学校と言うのならたぶん有理数が想定されているのだろう)もわかっていて，「+」と言う演算もちゃんと定義されていることが前提です。でも本当にそんなことを習いましたか？何となく理解しているだけで，厳密なことは何も言われたことがないはずです。
真面目にやろうとすると，この回答欄ではとても書ききれません。
中学校の段階の数学としては，公理であると考えておいた方がよいと思います。もっと学習が進んだ時に，公理だと思っていたことの中に矛盾がないのか，もっと少ない公理だけですまないのかを考えるようになった時に，もう一度振り返ってください。

回答No.3

tmppassenger

因みに今言った「体」と言った概念も、19世紀にDedekindとかがまとめたものなので、そういった意味では何を公理とするか、とかは19世紀頃になってようやく整備されたといってもよい。

勿論それまでの数学者も四則演算も使っていたが、体の概念にも出てきて、中学校でもならう「負の数」とかは17世紀の西洋の数学者ですら「負の数は偽物」と思っていたくらいなので、こういった公理による厳密化は数学の歴史においても結構最近（特に19世紀以降）のこと、と私は思っている。

回答No.2

tmppassenger

大学の数学では、環や体というのが何なのかや、有理整数環、有理数体、実数体といった実際の環や体の例、それらをペアノの公理から具体的に構成する方法等が出てきて、それを習えばこの辺のことははっきりする。

が、今の段階でこれらに拘っても中途半端になって、今のように混乱するだけなので、勧めない。学習が進むまでは、ある程度はこう言うものなんだ、と割り切ることも肝心。学習が進んで改めて原理を習うと、見えてくるものも多い。

回答No.1

asuncion

＞公理なのか定理なのか分かりません

どっちでもいいのでは？突き詰めすぎると
わけわかんなくなっちゃいますよ。