方程式の問題です。よろしくおねがいします。

質問

(1)　連立方程式 1/x＋2/y=5　　 2/x-3/y=7

　　　を解きなさい。

(2)長さ２０cmの針金を適当なところで切断し、それぞれの針金で正方形２個を作るとき次の問いにこたえなさい。

　i　一方の正方形Aの一辺の長さをXｃｍとするとき、正方形Aともう一つの正方形Bの面積の和をXの式であらわせ。

　ii　iの面積の和の最小値とそのときのXの値をもとめよ。

回答No.3

gohtraw

平方完成された形が
ａ（ｘ－ｂ）＾２＋ｃ　・・・（１）
となるとき（ａ＞０とします）、
ａ（ｘ－ｂ）＾２はゼロ以上です。従って（１）の値が最小になるのは
ａ（ｘ－ｂ）＾２が最小になるときであり、それはｘ＝ｂのときです。

違う考え方では、関数ｙ＝ａ（ｘ－ｂ）＾２＋ｃ　のグラフは下に凸の放物線です。従って
ｙの値が最小になるのはこの放物線の頂点、つまりｘ＝ｂになるときで、そのときｙの値はｃです。

回答No.2

iaiahasuta

やれやれ・・・

１ですが、両辺にｘｙを掛けます。
（ｘかｙが０の場合もありますが、その場合はそもそも問題の式が成立しません）

その結果、
Ａ：ｙ＋２ｘ＝５ｘｙ　→　２ｙ＋４ｘ＝10ｘｙ
Ｂ：２ｙ－３ｘ＝７ｘｙ
となり、２Ａ－Ｂで↓になります。
７ｘ＝３ｘｙ　→　７＝３Ｙ
従って
ｙ＝３／７　となりこれから
ｘ＝１／７　が導かれます

（２）－i
Ｃ：正方形Ａの面積：ｘ^２
Ｄ：正方形Ｂの面積：【（２０－４ｘ）／４】^２＝（５－Ｘ）^２＝２５－１０ｘ＋ｘ^２

（２）－ii
↑から、面積の和は、Ｃ＋Ｄ　となり、

２ｘ^２－１０ｘ＋２５＝２（ｘ^２－５ｘ＋25／２）＝２（ｘ－５／２）^２＋25／２

となり、ｘ－５／２＝０となる時（ｘ＝５／２）が最少となります。

回答No.1

gohtraw

（１）
一式目の２倍
２／ｘ＋４／ｙ＝１０
これから二式目を引くと
４／ｙ＋３／ｙ＝３
７／ｙ＝３
ｙ＝３／７
これを二式目に代入して
２／ｘ－７＝７
２／ｘ＝１４
ｘ＝１／７

（２）－i
　正方形Ａの周囲の長さは一辺の長さの４倍なので４ｘ
従ってもうひとつの正方形Ｂの周囲の長さは　２０－４ｘでありその一辺の長さは５－ｘ　です。
従って二つの正方形の面積の和は
ｘ＾２＋（５－ｘ）＾２＝２ｘ＾２－１０ｘ＋２５

（２）－ii
　前問の結果を平方完成すると
２（ｘ－５／２）＾２ー２５／２＋２５＝２（ｘ－５／２）＾２＋２５／２
よって求める最小値はｘ＝２／５のとき２５／２　ｃｍ

お礼

早速回答いただき、ありがとうございます。

ただ、面積の和の最小値が以下のように、どうして平方完成をして求めた答えになるのかがわかりません。

２）－ii
　前問の結果を平方完成すると
２（ｘ－５／２）＾２ー２５／２＋２５＝２（ｘ－５／２）＾２＋２５／２
よって求める最小値はｘ＝２／５のとき２５／２　ｃｍ

詳しく解説いただけると助かります！！