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方程式の問題です。よろしくおねがいします。
(1) 連立方程式 1/x＋2/y=5 2/x-3/y=7 を解きなさい。 (2)長さ２０cmの針金を適当なところで切断し、それぞれの針金で正方形２個を作るとき次の問いにこたえなさい。 i 一方の正方形Aの一辺の長さをXｃｍとするとき、正方形Aともう一つの正方形Bの面積の和をXの式であらわせ。 ii iの面積の和の最小値とそのときのXの値をもとめよ。
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- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2965)
平方完成された形が ａ（ｘ－ｂ）＾２＋ｃ ・・・（１） となるとき（ａ＞０とします）、 ａ（ｘ－ｂ）＾２はゼロ以上です。従って（１）の値が最小になるのは ａ（ｘ－ｂ）＾２が最小になるときであり、それはｘ＝ｂのときです。 違う考え方では、関数ｙ＝ａ（ｘ－ｂ）＾２＋ｃ のグラフは下に凸の放物線です。従って ｙの値が最小になるのはこの放物線の頂点、つまりｘ＝ｂになるときで、そのときｙの値はｃです。
- iaiahasuta
- ベストアンサー率36% (63/173)
やれやれ・・・ １ですが、両辺にｘｙを掛けます。 （ｘかｙが０の場合もありますが、その場合はそもそも問題の式が成立しません） その結果、 Ａ：ｙ＋２ｘ＝５ｘｙ → ２ｙ＋４ｘ＝10ｘｙ Ｂ：２ｙ－３ｘ＝７ｘｙ となり、２Ａ－Ｂで↓になります。 ７ｘ＝３ｘｙ → ７＝３Ｙ 従って ｙ＝３／７ となりこれから ｘ＝１／７ が導かれます （２）－i Ｃ：正方形Ａの面積：ｘ^２ Ｄ：正方形Ｂの面積：【（２０－４ｘ）／４】^２＝（５－Ｘ）^２＝２５－１０ｘ＋ｘ^２ （２）－ii ↑から、面積の和は、Ｃ＋Ｄ となり、 ２ｘ^２－１０ｘ＋２５＝２（ｘ^２－５ｘ＋25／２）＝２（ｘ－５／２）^２＋25／２ となり、ｘ－５／２＝０となる時（ｘ＝５／２）が最少となります。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2965)
（１） 一式目の２倍 ２／ｘ＋４／ｙ＝１０ これから二式目を引くと ４／ｙ＋３／ｙ＝３ ７／ｙ＝３ ｙ＝３／７ これを二式目に代入して ２／ｘ－７＝７ ２／ｘ＝１４ ｘ＝１／７ （２）－i 正方形Ａの周囲の長さは一辺の長さの４倍なので４ｘ 従ってもうひとつの正方形Ｂの周囲の長さは ２０－４ｘでありその一辺の長さは５－ｘ です。 従って二つの正方形の面積の和は ｘ＾２＋（５－ｘ）＾２＝２ｘ＾２－１０ｘ＋２５ （２）－ii 前問の結果を平方完成すると ２（ｘ－５／２）＾２ー２５／２＋２５＝２（ｘ－５／２）＾２＋２５／２ よって求める最小値はｘ＝２／５のとき２５／２ ｃｍ
お礼
早速回答いただき、ありがとうございます。 ただ、面積の和の最小値が以下のように、どうして平方完成をして求めた答えになるのかがわかりません。 ２）－ii 前問の結果を平方完成すると ２（ｘ－５／２）＾２ー２５／２＋２５＝２（ｘ－５／２）＾２＋２５／２ よって求める最小値はｘ＝２／５のとき２５／２ ｃｍ 詳しく解説いただけると助かります！！