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極限値
途中でわからなくなったので教えてください lim x→1 [-(x＾2)＋2x＋2] 〔〕はガウス記号です。 - x^2 + 2x + 2 = - (x - 1)^2 + 3 とします。こうすると lim_{x → 1} [- x^2 + 2x + 2] = lim_{t → 0} [3 - t^2] (x-1)=tとおきました tは0に近づきます。 とすると3になってしまいます
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「極限値は存在しない」というのが答えですね。 ある十分小さな正の実数 $?delta $ をとってくると、$1 - ?delta < x < 1 + ?delta (x ?not= 1)$ では $[ - x^2 + 2x + 2 ] = 2$ ですが、 $x = 1$ のとき、$[ - x^2 + 2x + 2 ] = 3$ ですから、$?delta $ を 0 に近づけてもこの二つの値が違っているので、定義から極限値は存在しません。
- proto
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＞lim_{t → 0} [3 - t^2] ＞(x-1)=tとおきました ＞tは0に近づきます。 ＞とすると3になってしまいます tは0に近づきますが 常にt≠0なのです つまりどんなにtを0に近づけていっても t^2>0 なのです、このことから 3-t^2<3 となるのはわかりますか？ そして[x]はxを超えない最大の整数を与えるものなので [3-t^2]=2 (t→0) となるのです もし [3-t^2]=3 ならば、3は3-t^2を超えてしまっています 重要なのは、x=aにおける極限値とは 単にx=aを代入したものではないということです lim[x→0]{sin(x)/x}=1 という公式を知っていますか？ この場合f(x)=sin(x)/xの定義域は x=0以外のすべての実数です つまり、極限値を求めるときに x=0を代入することは出来ないのです しかし極限値は定まります これはx→aがx=aとは別のことを意味しているからです
- yumisamisiidesu
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ガウス記号の基本的な性質 1. []:R→Z 2. n=<x<n+1 ⇒ [x]=n 3. b≠0を仮定 (a÷b=q...r and 0=<r<b) ⇔ (q=[a/b] and r=a-bq)
- pyon1956
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以前の質問で理解されなかったようなのでおこたえします。 まず、t=0における極限値とt=0における値とは一致するとは限りません。 t=0における極限値とは t=0を除くt＝0の近くでの関数の変化からt=0に近づいていったときに関数が近づく値を推測して求めた値のことなので、この場合t=0での関数の値とは一致しません。 この関数は前にも書きましたが -1≦t<0で２、t=0で３、0<t≦1で２という値をとります。グラフでいうと -1≦ｔ≦１の間、一定の値２をとるのでt軸に平行な線分なのですが、t=0のところだけ途切れていて、１だけ上のところに点がひとつぽつんとある、 . -------- --------- というような感じになります。こういうとき極限値は２、関数の値は３というふうに一致しません。逆に極限値が存在してかつそのときの関数の値と一致するというのが関数の連続の定義になっています。
