x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0でx+1/x=tとする時、 tで表すと?

質問

宜しくお願い致します。

4次方程式x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0…(*)に於いてx+1/x=tとする時、　
(*)をtで表すと?
という問題なのですがどのようになるんでしょうか?

回答No.1

sta_vanilla · ベストアンサー

４次方程式（あるいはそれ以上の偶数次の方程式）で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0　‥ (1)

のような並びになっているもの（係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも）ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0　‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0　‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0　‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
２次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

４次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する２次方程式を解け。
(c) ４次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

お礼

有難うございます。
お陰さまで解けました。

回答No.3

rinri503

与式において
　　ｘ＝０を代入しても成立しないから　ｘ≠０
　　よってｘ＾２で割ると
　　ｘ＾２－４ｘ＋５－４／ｘ＋１／ｘ＾２＝０
　　　とできる

　（ｘ＾２＋１／ｘ＾２）－４（ｘ＋１／ｘ）＋５＝０
　　（ｘ＋１／ｘ）＾２－２－４（ｘ＋１／ｘ）＋５＝０

　　あとは自分で

お礼

有難うございます。
お陰さまで解けました。

回答No.2

Piazzolla

x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0

x^2で割って、
x^2-4x+5-4/x+1/x^2=0

ここで、(x+1/x)^2=x^2+1/x^2-2なので、
x^2+1/x^2=t^2-2

したがって、
x^2-4x+5-4/x+1/x^2=0
（x+1/x）^2-2-4(x+1/x)+5=0
（x+1/x）^2-4(x+1/x)+3=0
以下、省略。

お礼

有難うございます。
お陰さまで解けました。