ルジャンドル関数 g(t,x)≡1/√(1-2tx

質問

ルジャンドル関数 g(t,x)≡1/√(1-2tx+t^2)=Σ(n=0→∞) Pn(x)t^nにおいて次の微分方程式
(1-x^2)∂g/∂x - (xt-1)∂g/∂t - xg =0
を用いて
次の漸化式
[(1-x^2)d/dx - (n+1)x]Pn(x) = -(n+1)Pn+1(x)
を証明する方法を教えて下さい！
(Pn(x)はルジャンドル多項式です)

大学の授業で取り扱ったのですがその日は交通遅延で授業に出られず、周りにノートを見せてくれる知り合いもいません。
どうかよろしくお願い致します！

回答No.1

f272 · ベストアンサー

gの定義は
g=Σ(n=0→∞) Pn(x)t^n
だから、与えられた微分方程式
(1-x^2)∂g/∂x - (xt-1)∂g/∂t - xg =0
に代入すると
(1-x^2)Σ(n=0→∞) P'n(x)t^n - (xt-1)Σ(n=0→∞) nPn(x)t^(n-1) - xΣ(n=0→∞) Pn(x)t^n =0
(1-x^2)Σ(n=0→∞) P'n(x)t^n -xΣ(n=0→∞) nPn(x)t^n + Σ(n=0→∞) nPn(x)t^(n-1) - xΣ(n=0→∞) Pn(x)t^n =0
(1-x^2)Σ(n=0→∞) P'n(x)t^n -xΣ(n=0→∞) nPn(x)t^n + Σ(n=0→∞) (n+1)Pn+1(x)t^n - xΣ(n=0→∞) Pn(x)t^n =0
したがってt^nの係数だけを取り出すと
(1-x^2) P'n(x) -xnPn(x) + (n+1)Pn+1(x) - x Pn(x) =0
(1-x^2) P'n(x) -x(n+1)Pn(x) = -(n+1)Pn+1(x)
[(1-x^2) d/dx -x(n+1)]Pn(x) = -(n+1)Pn+1(x)

お礼

救世主です！ありがとうございます！