d^2x/dt^2 + x = cos(ωt)の求め方

質問

微分方程式の
d^2x/dt^2 + x = cos(ωt)
の求め方を教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.1

brogie · ベストアンサー

このような微分方程式は幾通りかの解き方があります。
簡単な解き方を紹介します。

方針は
d^2x/dt^2 + x = cos(ωt) ・・・・（１）
右辺を０と置いた式
d^2x/dt^2 + x = 0・・・・・・・・・（２）
この（２）式の一般解Xを求め、
つぎに（１）式の特殊解X0を求めて、
（１）式の一般解は
ｘ＝X＋X0
となります。

実際には次のようにして解いていきます。
（２）の一般解は
ｘ＝ｅ^(λｔ)・・・・・・・・・・（３）
とおくと
d^2x/dt^2＝λ^2*ｅ^(λｔ)・・・・（４）
（３）、（４）を（２）へ代入して、
λの式が求まり、その解をλ1、λ2とすると
（２）の一般解Ｘは
Ｘ＝c1*ｅ^(λ1ｔ)＋c2*ｅ^(λ2ｔ)
ただし、c1、c2は任意定数。

つぎに、（１）の特殊解Ｘ0は
Ｘ0＝a*cos(ωt)＋b*sin(ωt)
とおき、（１）式へ代入して、
a、bが求まり、

故に、（１）の一般解は
ｘ＝・・・
となります。
1部ヒントですが、解らない時は、補足して下さい。

お礼

ありがとうございます。無事求まりました。
こういうやり方だと、結構簡単ですね。難しく考えてました。(^^;