微分演算子の座標変換

質問

こんにちは。質問したいことがあります。

http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/bibun.htm
にあるような微分演算子の座標変換を効率的に暗記する方法はないでしょうか？
計算の理屈も手順もわかっているので、実際に試験に出ても導出はできるのですが、いかんせん時間がかかるので手っ取り早くかつ正確に暗記してしまいたいのです。語呂合わせとか、または簡単な行列演算とか、ご存知の方いらっしゃいましたら教えてください。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

もし思い出せなければ(大抵の場合は思い出せない^^;)、微分形式(外積代数)を使って導きますね。(やり方さえ分かってれば、数分で導けると思う)

ここで、微分形式を細かく説明するのは無理なので、もし興味があればご自分で調べてみてください。
(ただ、下に書いた*-作用素は別のe_rのようなものを使わずに書かれているかもしれない)

例えば、３次元極座標のラプラシアンであれば、次のように求める事になります。
※正規直交基底を,e_r=dr,e_θ=rdθ,e_φ=rsinθdφとします。
※また、∇=∂_r dr+∂_θ dθ+∂_φ dφ　です。

df=∇∧f=∂_rf dr+∂_θ f dθ +∂_φ f dφ
=∂_rf e_r+(1/r)∂_θf e_θ +(1/rsinθ)∂_φ f e_φ

*df =∂_rf e_θ∧e_φ+(1/r)∂_θf e_φ∧e_r+(1/rsinθ)∂_φ f e_r∧e_θ
=(r^2sinθ)∂_rf dθ∧dφ+(sinθ)∂_θf dφ∧dr+(1/sinθ)∂_φ f dr∧dθ

d*df = ∇∧(*df)=∂_r{(r^2sinθ)∂_rf}dr∧dθ∧dφ+∂_θ {(sinθ)∂_θf }dθ∧dφ∧dr+∂_φ{(1/sinθ)∂_φ f}dφ∧dr∧dθ
=[∂_r{(r^2sinθ)∂_rf}+∂_θ {(sinθ)∂_θf }+∂_φ{(1/sinθ)∂_φ f}]dr∧dθ∧dφ
=(1/r^2sinθ)[∂_r{(r^2sinθ)∂_rf}+∂_θ {(sinθ)∂_θf }+∂_φ{(1/sinθ)∂_φ f}]e_r∧e_θ∧e_φ

*d*df=(1/r^2sinθ)[∂_r{(r^2sinθ)∂_rf}+∂_θ {(sinθ)∂_θf }+∂_φ{(1/sinθ)∂_φ f}]
となって、これが、∇^2 fになってます。(私の計算ミスがなければ)

ベクトルをA=(A_x,A_y,A_z)をA_x dx+A_y dy +Az dzなどに対応させる事にすると、
A・B=*(A∧(*B))
A×B=*(A∧B)
divA=*(∇∧(*A))
rotA=*(∇∧A)
となる事から、ラプラシアンだけではなく、内積や外積、発散や回転も計算できます。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど。複雑ですがこういう方法もあるんですね。
勉強してみます。

回答No.1

noname#21219

極座標表示のラプラシアンや∇のことだと思います。
まず∇ですが
∇=(∂/∂r)er＋1/r(∂/∂θ)eθ＋(1/rsinθ)(∂/∂φ)eφ
これは以下のように覚えます。
rは一番弱いから係数に何もつかない。θはrよりちょっと強いから係数に1/rがつく。φは一番強いから係数に
1/rsinθがつく...どうでしょうか笑

ラプラシアンは
∇^2=(∂^2/∂r^2)＋(2/r)(∂/∂r)
＋(1/r^2){(1/sinθ)∂/∂θ(sinθ∂/∂θ)＋
(1/sin^2θ)∂^2/∂φ^2}ですけど
rは最初(2回微分)は何もなくて、弱くなると(一回微分)、弱さを補うために武器2/rがついてくる。
θとφは部外者だから1/r^2でくくられちゃって
、でもその中でθはひねくれてるから係数に1/sinθ
がついて、さらに一回微分のなかにsinθ∂/∂θがはいっている。φはいさぎよく係数に1/sin^2θしかつかず
微分も二回微分∂^2/∂φ^2のみ.....

つまり、覚えるのはけっこう難しいと思います。

http://www-lab23.kuee.kyoto-u.ac.jp/nakagawa/LSC.pdf

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/iromono/PhysTips/Lap.html

お礼

回答ありがとうございます。

せっかく教えてもらって何ですが…。
うーん…。
やっぱ難しいっす（笑）
まだ時間はあるので気合で覚えることにします