正弦波の足し算

質問

周波数Fの正弦波があったとき、
周波数Fの正弦波　+　周波数３*Fの正弦波は上下対称な波形になりますよね。
それなのに、
周波数Fの正弦波　+　周波数２*Fの正弦波は上下対称な波形にならないのは、どうしてでしょうか。

加法定理など使えば証明できそうのですが、
いまいちできません。
簡単な疑問だと思うのですが、よろしくお願いします。

回答No.1

masudaya · ベストアンサー

いまf=1/(2π)とします.
(以下の話を,私にとって簡単にするため)

こうすると信号は
y1=sin t
y2=sin 2t
y3=sin 3t
です.

t 0 π/2 π 3π/2 2π
y1 0 + + 0 - - 0
y2 0 + 0 - 0 + 0 - 0

t 0 π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π
y1 0 + 0 - 0
y3 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0

表にすると,このようになりイメージ的には分かってもらえるかと思います．

式としては
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinα×cosβ
を用いると求まります.
α+β=3t,α-β=tとすると
α=2t,β=tなので
y1+y3=2sin 2t× cos t・・・(1)
となります.

もう一方は
α+β=2t,α-β=tとすると
α=3t/2,β=t/2なので
y1+y2=2sin 3t/2 × cos t/2・・・(2)
となります.

おっしゃるような上下対称というのは,この場合,時間をπ動かすと時間0からと符合が異なる.つまり信号をf(t)とすると

f(t+π)=-f(t)・・・(3)

という意味だとすると,

(1)の場合

2sin 2(t+π)× cos (t+π)=-2sin 2t× cos t

で上下対称となります.

(2)の場合

2sin 3(t+π)/2 × cos (t+π)/2=-2cos 3t/2 ×sin t/2

となり,異なる波形になります.

以上でお分かりになられたでしょうか？

お礼

詳しく説明していただいてありがとうございます。よくわかりました。

回答No.3

foobar

#1さんの考え方「f(t)=-f(t+π)が成立するか否か」
をつかえば、加法定理を使う必要がなさそうな。

1. 奇数次高調波の場合
sin((2n+1)(t+π)+φ)
=sin((2n+1)π+(2n+1)t+φ)
=-sin((2n+1)t＋φ)

2. 偶数時高調波の場合
　sin((2n)(t+π)+φ)
=sin(2nπ+2nt+φ)
=sin(2nt+φ)

が成立するから、奇数次(1,3,5,...)の成分だけからなる場合にのみ、正負対称になる、、と。

(厳密には、もうちょい言及する必要があるんでしょうけど、割愛)

回答No.2

ymmasayan

証明するのが目的でしょうか？
そうでなければグラフを書いてみれば一目瞭然ですが。