球面座標表示

質問

球面座標について教えてください。
球面座標表示を用いた場合の「∇」と「∇＾２」がどのように表せるのか、
またどのように導くのか教えてください。
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
と置くことは出来ます。そこから先が分からないのです。
電波工学の院試勉強中です。ちなみに微小電流素子の作る電波のところを
やっている途中です。上のことが分かれば大きく進むはずなのでよろしくお願いします。

回答No.1

brogie · ベストアンサー

つぎの計算を「てくてく」と行って下さい。
間違いがないように、ノートに楷書で書いて行くことです。

∂/∂x=∂/∂r・∂r/∂x＋∂/∂θ・∂θ/∂x＋∂/∂φ・∂φ/∂x
∂/∂y=∂/∂r・∂r/∂y＋∂/∂θ・∂θ/∂y＋∂/∂φ・∂φ/∂y
∂/∂z=∂/∂r・∂r/∂z＋∂/∂θ・∂θ/∂z＋∂/∂φ・∂φ/∂z

r^2＝x^2＋y^2＋z^2
tanφ＝y/x
tan^2θ＝(x^2＋y^2)/z^2
から
∂r/∂x＝sinθcosφ
∂r/∂y＝sinθsinφ
∂r/∂z＝cosθ

∂θ/∂x＝cosθcosφ/r
∂θ/∂y＝cosθsinφ/r
∂θ/∂z＝-sinθ/r

∂φ/∂x＝-sinφ/rsinθ
∂φ/∂y＝cosφ/rsinθ
∂φ/∂z＝0
等が求まる。

∂/∂x=sinθcosφ∂/∂r＋(cosθcosφ/r)∂/∂θー(sinφ/rsinθ)∂/∂φ
∂/∂y=sinθcosφ∂/∂r＋(cosθsinφ/r)∂/∂θ＋(cosφ/rsinθ)∂/∂φ
∂/∂z=cosθ∂/∂rー(sinθ/r)∂/∂θ

これを
∇＝i∂/∂x＋j∂/∂y＋k∂/∂z

に代入して求めます。

つぎの式も丹念に計算していくと

∇＾２＝∂^2/∂r^2＋(2/r)∂/∂r
　　　　　＋(1/r^2sinθ)∂(sinθ∂/∂θ)/∂θ
　　　　　＋(1/rsinθ)^2・∂^2/∂φ^2

注意深く計算して行って下さい。途中間違えたら台無しです。

お礼

とても迅速かつ正確、丁寧にありがとうございました。
先ほどノートで何とか計算することが出来ました。3時間かかってしまいました。
大変ありがとうございました。これから本題をやります。

回答No.2

dkiniwa

ちょっと違う角度からアドバイスすると、、、これかなり面倒くさいですよ。
ちゃんと導出を書いてある本を見ながらでも戸惑うくらいだと思います。
まあ一度くらいは自分でやってもいいと思いますけど、試験にでる可能性が
あるなら暗記しちゃいましょう。僕も最近暗記しました。
物理学や工学、特に電磁気関係の教科書なら必ず載ってると思います。

お礼

はい。暗記します。
下にも書きましたが一回やってみました。も～大変でした。。。
試験時間は３時間・・・これだけで終わっちゃいます。・・・
とにかく試験までは忘れないようにしないと。
ありがとうございました。