幾何学の分野で質問です。

質問

円Ｏの弦ＡＢの両端における接線の交点をＰとし、ＡＢの中点Ｍを通る任意の弦を
ＣＤとすれば、ＯＰは∠ＣＰＤを二等分することを証明せよ。

ここで、４点Ｃ，Ｏ，Ｐ，Ｄが同一円周上にあることを示せば、ＣＯとＢＯの長さが
等しいので、∠ＣＯＰ＝∠ＢＯＰによりＯＰが∠ＣＰＤを二等分することがいえるの
で、証明できると思うのですが。

上手くいきません＞＜
どなたか、教えてください。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

昨日からずっと考えていたのですが、やっと閃きました。

基本的には、
＞４点Ｃ，Ｏ，Ｐ，Ｄが同一円周上にある
という事を方べきの定理(の逆)をつかって証明します。

ご存知かとは思いますが、方べきの定理とは
「ある円Oと円周上にない点Pがあり、Pを通るニ直線がこの円OとそれぞれAとB,CとDで交わるならば、PA*PB=PC*PDが成り立つ」
というものです。

また、この定理は逆も成立します。つまり、
「線分ABと線分CD、または、それらの延長どうしが点Pで交わり、PA*PB=PC*PDが成り立てば、A,B,C,Cは同一円周上にある」
という事がいえます。

では、このことを念頭に本題に入ります。
A,B,C,Dは円Ｏの円周上にあるので、方べきの定理より
AM*BM=CM*DM・・・★
が成り立ちます。

さらに、∠PAO=∠PBO=90°なので、P,A,B,Oは同一円周上にあります。(POを直径とする円上にある)

よって、方べきの定理より
AM*BM=OM*PM・・・◎
が成り立ちます。

★と◎より
CM*DM=OM*PM
となります。

線分CDと線分OPは点Mで交わり、CM*DM=OM*PMを満たすので、方べきの定理の逆から、C,D,O,Pは同一円周上にあります。

あとは、hiiro_hiiroさんの考え通り、OC=ODより、∠CPO＝∠BPO
となります。

ただし、弦CDと線分OPが平行のときは、方べきの定理の逆が使えない(と思う)ので、この証明では考えていないことになります。まぁ、この場合は、∠CPO=∠DPO=0となるので、問題ないでしょうが。

回答No.5

eatern27

#4です。すいません。最後の最後で間違えました・・・。

(誤)
あとは、hiiro_hiiroさんの考え通り、OC=ODより、∠CPO＝∠BPO

(正)
あとは、hiiro_hiiroさんの考え通り、OC=ODより、∠CPO＝∠DPO
(一番最後の∠BPO→∠DPOとしました)

お礼

私のために考えてくださり、ありがとうございます。
非常に分かりやすい証明をしていただき、
大変、参考になりました。(^_^)

回答No.3

DoragonFang

#1のDoragonFnagです。自己レスです。

すみません。＃２のpyon1956さんのおっしゃる通り、
弦の定義を勘違いしておりました。済みません。
ついでにいうとC,Dが円Ｏ上にある、という自明のことを思いつきませんでした。

＃２で指摘されているように、角度のもんだいなので、相似を証明できればいいように思いますが。

回答No.2

pyon1956

とりあえずNo.1さんの指摘は正しくないという事を。
CP=DPなら明らかにCとA、DとBまたはCとB、AとDが一致しますから問題は明らか、というか問題になっていません。弦っていうのは直線じゃなくて線分なんですがそこんところを誤解してらっしゃるような？
問題はその無数にある弦のすべてにおいて、CとD（これは円周上の点ですが）が∠ＣＯＰ＝∠ＢＯＰを満たす事を証明せよといっているわけです。
さて質問者へのアドバイスですが接弦定理あたりを使って三角形の相似からもっていくぐらいがいいんじゃないかと。CO=BOあたりだと合同を目論んでらっしゃるようですがこの場合合同より相似（角の相等ならそれで十分）だと思いますが。

お礼

ありがとうございます！
三角形の相似で証明を考えてみます。

回答No.1

DoragonFang

問題文から考えると、Ｃ，Ｄに関する条件が足りません。
単にＭを通るだけのだけの弦ならば、１点を通ればいいだけで無数に引くことが出来ます。

例えば、「ＡＢを接線とする」、あるいは、「円Ｏ上の点で、ＣＰ＝ＤＰであるＣ，Ｄ点」などの条件が抜けていませんか？