円は弦の中点を通る

質問

問題は、
円O外の1点からこの円にひいた2つの接線の接点をB,Cとする。点Aを通る任意の直線が円Oと交わる点をD,Eとすると、点O,D,Eを通る円は弦BCの中点を通る。これを証明することですが、
略解にはOA,BCの交点をMとすると、MはBCの中点である。と書かれています。
△ABMと△ACMが合同であるから、MはBCの中点である。と思うのですが合同の条件がわかりません。これが一つ目の質問です。どなたか教えてください。
二つ目の質問は、∠OBA=∠R、BM⊥OAであるから、AM・AO＝AB²、これは
△AOB∽△ABMから相似比を使って、導くのでしょうか？どなたか教えてください。
お願いします。

回答No.2

fjnobu · ベストアンサー

回答の式を間違えていました。下の式に訂正します。
AB^2=AO^2ーOB^2＝AO^2－（BM^2+OM^2)＝AO^2－BM^2ー（AO－AM)^2
＝ー（BM^2＋AM^2)＋２AM・AO
に訂正してください。
　OM＝AO-AMだから、（　　）　を２乗します。

お礼

三平方の定理を使った、説明ありがとうございます。

回答No.1

fjnobu

合同の条件は、２辺の長さが同じで直角三角形あることです。△ABMと△ACMのAMは共通であり、AB=AC　で接線だから等しい。
次に
OB^2＋AB^2＝AO^2（ピタゴラスの定理）
OB^2＝OM^2＋BM^2（同上）
AO＝OM+AM
上の3つの式から
AB^2=AO^2ーOB^2＝AO^2－（BM^2+OM^2)＝AO^2－BM^2ー（AO^2－AM^2)
＝ー（BM^2＋AM^2)＋２AM・AO
となり
BM^2＋AM^２＝AB^2だから2（AM・AO）＝２AB^2
となるので
AM・AO＝AB^2
となる。

お礼

直角三角形の合同条件は、調べてみようと思います。ありがとうございます。