異なる接線ちょうど2本

質問

接線を2本だけ引くはずが、３本引けるので質問します。問題は、
曲線y=x^2e^xに、点(a,0)から異なる接線がちょうど２本ひけるように、定数aの値を定めよ。というものです。
解答は、y=x^2e^xを微分すると、y'=2xe^x+x^2e^x 接点の座標を(t,t^2e^t)とすると、接線の方程式は、y=t(2+t)e^tx-t^2(t+1)e^t・・・(1)この直線が点(a,0)を通るとき、
at(2+t)e^t-t^2(t+1)e^t=0 e^t>0からt(2a+at-t^2-t)=0 ゆえに　t=0またはt^2-(a-1)t-2a=0
解の1つは　t=0であるから、f(t)=t^2-(a-1)t-2a とおくと
[1]2次方程式f(t)=0が０以外の重解をもつとき
[2]2次方程式f(t)=0が0と0以外の実数解をもつとき　の2つに場合分けしています。
このうちわからないのは、[1]の場合です。f(t)=0の判別式Dとすると、D=0
D=a^2+6a+1　a^2+6a+1=0 ゆえに　a＝-3±2√2　またf(0)≠0であるから　-2a≠0　すなわち、a≠0したがってa＝-3±2√2このとき重解は　t=(a-1)/2=-2±√2　
t=0 ,t=-2±√2のとき直線(1)は異なる。と書いてありますが。添付した画像のように
wxMaximaで計算したら、t=-2+√2,t=-2-√2のときで直線が異なるのです。どなたか自分の間違いを指摘してください。お願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

±を使うから混乱する...

問題の t (2a +at -t^2 -t )=0の解は、先ず a=-3 +2√2 の時は、 t=0とt=-2+√2の二つで、これに対応する接線は(1)式に t=0とt=-2+√2の二つを代入した時の式で、計2本。
同様に a=-3 - 2√2 の時は t=0とt=-2-√2の二つで、やはり接線は2本。

a = -3 +2√2 の時にt=0, -2+√2, -2-√2の3つの解があるわけではありません。

お礼

t=-2+√2,t=-2-√2のどちらか一方を取るわけでしたか。重解を持つaの値は2つある場合を、分けていませんでした。ご指摘ありがとうございます。