複素数の積分

質問

Re∫複素数　dt＝∫Re複素数　dt
と言えますか？
つまり、積分してから実をとる事は、先に実をとってから積分したモノと考えても問題ないでしょうか？

おねがいします。

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

一言で説明すると・・・
左辺は必ず実数ですが，右辺はdzが複素数なので必ずしも実数にならないので，一般に
Re∫_[C]f(z)dz＝∫_[C]Re(f(z))dz
は成立しません．

複素積分∫_[C]f(z)dz において，積分値が実数に寄与する部分（つまり，Re(∫_[C]f(z)dz)となる部分）は，
f(z)=Re(f(z))+iIm(f(z))
dz=d(Re(z))+id(Im(z))
としたとき，Re(f(z))d(Re(z))だけでなくIm(f(z))d(Im(z))も含まれます．
一方，非積分関数を実数化した∫_[C]Re(f(z))dzの場合，積分値が実数に寄与する部分は，Re(f(z))d(Re(z))だけです．

試しにf(z)=1+i（定数），C={虚数軸上0～i}とすると，
Re(∫_[C]f(z)dz)=Re(∫[0,i](1+i)dz)=Re(i-1)=-1
∫_[C]Re(f(z))dz=∫[0,i]Re(1+i)dz=∫[0,i]1dz=i
となり一致しません．

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。