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【論理学】演繹定理について
- 演繹定理とは、論理学における重要な定理の一つです。
- ある前提の集合に命題を付け加えた場合、妥当な論証により結論が導けるならば、その命題を結論する論証は妥当です。
- 命題に前提や仮定があっても、妥当な論証によって導かれた結論は正しいと言えます。
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同値関連の公理が使えるという前提で回答いたしました。 ふつう 昨今の論理学は 古典的三段論法が間違っているという前提で 話を進めます。 つまり A B C 「a」 は、A含まれる要素であるという仮定の下 / A の要素である aが、 少なくともひとつ存在する / A⇒B / B⇒C すなはち ---------- A⇒B⇒C とするのが 定式的です。 キーとなるのは 演算を中心とした論理計算体系です。 演算記号としては 定義的に -(いわゆる non) と N + M の + (かつ) です。 たとえば N, -N, (N+M) は、定数的・アーギュメントです。 -を ￢ + を ∧ と規定しますと 正誤表より N⇒M は、￢(N∧￢M)と同値であり、 N v M (前回答では「U」) は、￢(N∧M) と同値です。 演繹に関する教科書的取り決めは、記号論学が成立しうるための「仮定」を ほかの言葉で言い換えたものです。 ここでは、 ￢ と ⇒ だけをつかって 論理系を説明しようとしていますので、意味が通りづらくなっているだけです。 私の説明は、￢と∧だけを使って、一般論的に説明しなおしているだけです。
お礼
懇切丁寧にありがとうございます。 私自身が大変不勉強であることが、更に明らかになりました。 本当に、色々とお知恵を頂き感謝しております。 周辺知識も含め、学習いたします。
正確に書くと 仮定 Σ⇒R 証明 Σ Xnは存在する(仮定) Σ⇒Xn 仮定 Xn⇒R P (設問仮定) Xn U P (U = or の恒真式) { (Xn U P) ⇒ Xn ⇒ R } (Xn U P) ⇒ R
お礼
再度、ご丁寧に説明いただき、ありがとうございます。 確認させて頂きたいのですが、 ＞Xn U P (U = or の恒真式) という行は、 Σ⇒Xn と P（設問仮定） の2つの式に対して、 選言の導入則を適用していると考えてよろしいでしょうか？ LPなる公理系しか学んだことがないので、私の認識違いであれば 申し訳ございません。 ご回答頂きながら、再度質問をしてしまい大変恐縮しております。
あのう ただ数学みたいに解けばいいのだと思いますが・・・ 導出の可能性の問題ですから、以下のように見ていくとよいでしょう。 たとえば、文章構成として言語には3つの体系があります。能動態 受動態 中動態 です。 そういった任意の文章Tを Tn(Sn, Qn)で表すとすると (Sn 主語 Qn 述語とし、最低限 Qまたは Sが 要素を持つ） 仮定 Σ(Tn) その仮定の下 結論として Rが妥当に導出される というのが命題です。 つまり Σに含まれているであろう あるXnについて Xn(論述的に導出可能な文章群)ならばRが成立するということです。 Xn⇒R ここに来て P (・・・仮定より） (Xn U P)⇒R です。 単純に仮定から結果が出ます。 PS 現代的な論理学では P と -Pの間の関係があいまいです。 基本的には P not = -(-P)です。 しかし記号論理学を学んでいるのですから、考え直してください。 「宇宙人の知恵」 「虚数の心」 とかというのは 三文文士の考えだしたパロディです。 自然言語の話をしているのではないので 宇宙人が何たらというのは分けて個別に考えるべきです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 命題の考え方を >仮定 Σ(Tn) >その仮定の下 >結論として >Rが妥当に導出される と考えるとは知りませんでした。納得いたしました。 1点、不明なのが、 >(Xn U P)⇒R の箇所です。ここで、記号が「U」である理由が解りません。 「∩」であれば、理解できるのですが・・・。 よろしければ、この点について補足頂けると幸いです。
- mesenfants
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参考になるかどうか自信はありませんが。 ここは演繹が問題となっているのだから「Ｐ」は妥当（真）」でなければならないのでは？ 妥当（真）な命題から、妥当な（まともな）論証のよって「Ｒ」が導けたなら（Ｒが真なら）、 真であればどんな命題でもＰになれるということではないでしょうか。 たとえば、「２は偶数である」ならば、とか「ポチは犬である」とかの真の命題（Ｐ）は、たとえば「正３角形の外心と内心は一致する」（Ｒ）が真になることにとって邪魔にならないということではないでしょうか。 シグマの変数を無限にしても、Ｒが真であるならば、そ真であることの邪魔にならないというか、逆にいえば、ひとつの命題を真とみなすとき、その背後には（前提には）、無限の「仮定」がよこたわっていてかまわないというふうなことではないでしょうか。 Ｐ「地球人は人間である」（主語も述語も「人」を含むので同語反復的ですが）が「真」であるなら、Ｒ「宇宙人は人間ではない」（「人間ではない宇宙人がいる」と量化しておきます）は「真」であるほかはない。 どうも舌足らずですが、どうでしょうか。
お礼
ご回答ありがとうございます。 >ひとつの命題を真とみなすとき、その背後には（前提には）、 >無限の「仮定」がよこたわっていてかまわないというふうな >ことではないでしょうか。 真の命題から、妥当な論証により導出されたRが真であれば、 どんな命題でもPになりえる・・・ということですか・・・。 真でありさえすれば「どんな命題でもPになりえる」ということで、 仮定とすることができ、妥当な結論を導けるということですよね。 とすると、 変な言い回しですが、いいかげんな「でっちあげ」の仮定（真）でも 妥当な結論が導出される、というのは理解しがたいわけです。 例として挙げていただいた 「２は偶数である」 や 「ポチは犬である」 という真の命題(P)は 「正３角形の外心と内心は一致する」（R） が真になることにとって邪魔にならないというよりも、なぜRを 導出するために、関係のなさそうなPの存在が仮定として必要 であるのかが理解できません。 当方、頭が弱く、大変お恥ずかしい限りです。
お礼
ご回答ありがとうございます。 質問内容の背景から、ご丁寧に解説頂きまして、 感謝と共に、深い敬意を抱きました！ そもそも、命題論理のもつ世界観（というのでしょうか）が どういうものであるかを提示して頂いた上で、ご回答されて いるため、非常に解りやすかったです。 漠然としていた視界が、かなり明確になりました。 繰り返し、ご回答を拝読させて頂き、自分の資産となるよう 努めます。 私には、もう少し難易度の低いテキストが合っているのかも しれません。中学生レベルでも理解できそうな別の書籍を 探してみます。 改めて御礼申し上げます。