非同次２階微分方程式

質問

y\"(t)+４y\'(t)+8y(t)＝16　　（ｔ＞０）
y(0)＝ａ、ｙ\'(0)＝0のときａ is not equal 2 のときのｙの求め方がa＝2のときはすぐもとまるけどちょっとよくわかりません
教えてください。

あとｙ＾2＝Ｃｘ　（Ｃはパラメータ）が満たす微分方程式ってどうやって求めればよいのでしょうか

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　λ^2 + 4λ + 8 = 0
の解が
(2)　　λ1 = - 2 + 2i，　　λ2 = - 2 - 2i
ですから，同次方程式の一般解は
(3)　　C1 exp(λ1 x) + C2 exp(λ2 x)
あるいは，同じことですが，λ1 = α+iβ，λ2 = α-iβ と書いて
A = C1 + C2，B = i(C1 + C2) とすれば
(4)　　exp(αx) (A cosβx + B sinβx)
が同次方程式の一般解．

y=2 が特解なのはすぐわかりますから，
結局，一般解は
(5)　　y(x) = exp(-2x) (A cos 2x + B sin 2x) + 2
です．

あとは初期条件
(6)　　y(0) = A + 2 = a
から，
(7)　　A = a - 2
また，
(8)　　y'(0) = 2B = 0
から
(9)　　B = 0

まとめて
(10)　　y(x) = (a-2) exp(-2x) cos 2x + 2

------------

関数を与えても，それが満たす微分方程式は無数にあります．
たとえば，
(11)　　y^2 = Cx
を一度 x で微分すると
(12)　　2y (dy/dx) = C
で，
(11)(12)から C を消去してもよいし，
(12)を もう一度 x で微分してもよい．

補足

2個目の問題でy^2 = Cxと直交する曲線群ってどのように求めたらよいのでしょうか？
お願いします

回答No.2

siegmund

> y^2 = Cxと直交する曲線群ってどのように求めたらよいのでしょうか？

C を少しずつ動かすと，原点を放物線の開き具合が少しずつ変わっていって，
曲線群ができる．
その連続的に変化する曲線群とすべての点で直交するような曲線群を
求めたい，というわけですね．

ちょっとグラフを描いてみれば，縦長の楕円になりそうなことは
すぐわかります．

(11)　　y^2 = Cx
を一度 x で微分すると
(12)　　2y (dy/dx) = C
で，(11)(12)から C を消去すると
(13)　　y - 2x(dy/dx) = 0
で，これがもとの曲線群の満たす微分方程式．
求める曲線群上の点の座標を(ξ，η)と書くと，ここでの接線の傾きは
(14)　　dη/dξ
である．
もとの曲線と求める曲線の交点では
(15)　　x = ξ，　　y = η
で，直交というのだから，
(16)　　dy/dx = -dξ/dη
となり，(15)(16)を(12)に代入して
(17)　　η - 2ξ(dξ/dη) = 0　　⇒　　ηdη = 2ξdξ
が求める曲線群の微分方程式．
(17)の解は直ちに
(18)　　2ξ^2 + η^2 = a
と求められる．
流通座標に直して
(19)　　2x^2 + y^2 = a
が求める曲線群．
予想通り，縦長の楕円になっている．