線形代数・・サラス展開を使えばいいのでしょうか？

質問

１　　２　　　３　　４
１　　2^2 　　3^2 　4^2
１　　2^3 　　3^3 　4^3
１　　2^4 　　3^4　 4^4
という行列式の値を求めるのですが、
これってサラス展開を使うんですよね？
でも、これをサラス展開した式ってまとめようもないし、明らかに正解が出ないような気がするんです。
というのは、別の類題の答えから、
この答えは１！２！３！４！という答えになるのではないかと予測を立てたのですが、サラス展開式からどう直していけばいいか分からないんです。
教えてください。お願いします。

回答No.1

tkm · ベストアンサー

これは行列式の基本変形を使うのです
それは
(1)ある行・列を何倍かしたものを別の行・列に加えてもよい
(2)ある行・列をｋ倍すると、行列式の値はｋ倍になる
これを踏まえて

１　　２　　　３　　４
１　　2^2 　　3^2 　4^2
１　　2^3 　　3^3 　4^3
１　　2^4 　　3^4　 4^4

1行目の何倍かを加えて2～3行目の１列目を0にします

１　　 ２　　　　３　　　　４
０　2(2　-1) 　3(3　-1) 　4(4　-1)
０　2(2^2-1) 　3(3^2-1) 　4(4^2-1)
０　2(2^3-1) 　3(3^3-1)　 4(4^3-1)

これは

2(2　-1) 　3(3　-1) 　4(4　-1)
2(2^2-1) 　3(3^2-1) 　4(4^2-1)
2(2^3-1) 　3(3^3-1)　 4(4^3-1)

と等価です。よって

｜(2　-1) 　(3　-1) 　(4　-1)｜
｜(2^2-1) 　(3^2-1) 　(4^2-1)｜*2*3*4
｜(2^3-1) 　(3^3-1)　 (4^3-1)｜

となり

｜1 　2 　3 ｜
｜3 　8 　15｜*2*3*4
｜7 　26　63｜

となりまる。あとは同じように変形して2*2の行列式にしてもいいし、サラスを使ってもいいです

注：サラスの公式は3*3行列式までしか使えません

計算間違いあるかもしれませんので自分で計算してみてください＾＾；

お礼

メチャクチャ丁寧な回答をありがとうございました。本当に助かりました。サラスの公式は３＊３までしか使えないことも初めて知りました。情けない限りです。

回答No.2

Tacosan

i行j列の成分が x_i^(j-1) であるような行列式を Vandermonde の行列式とよび, その値は差積になるということが知られています.

今の場合ではさらに x_i がかかる形なので 1・2・3・4・(1-2)(1-3)(1-4)(2-3)(2-4)(3-4) = 288 かな?

お礼

Vandermonde の行列式ってのがあるんですね。はじめて知りました。試験の時裏ワザで使ってみます。本当にありがとうございました。