集積点が、まったく分かりません！！

質問

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Ｘをある位相空間、ＡをＸのある部分集合とします。
x∈ＸがＡの集積点であるとは
xの任意の近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が少なくとも１つは含まれる
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のＡの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈ＸがＡの集積点であるとは
「xのどんな近くにも（x以外の）Ａの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈ＸがＡの孤立点であるとは
xがＡの要素であり　　…(S1)
かつxのある近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなＡの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈ＡであることはxがＡの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがＡの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Ａの点でないような
Ａの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Ａの要素に対して与えられる概念ですから、Ａに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをＡの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間（ユークリッド空間）での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例（１）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりＡは原点中心半径１の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとＡの集積点（の集合）は
{(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径１の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例（２）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Ａの集積点（の集合）はＡ自身と集合
Ｂ={(0,y)∈Ｘ| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例（３）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａ= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はＡの集積点です。しかしＡ自身の点はすべて孤立点です。

例（４）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａは開区間(0,1)の有理点。すなわち
Ａ= { x∈(0,1)｜xは有理数 }
とします。Ａの集積点（の集合）は閉区間[0,1]です。

お礼

やっと集積点の概要が分かりました。位相のテストがあり勉強すればするほど集積点がわからなくなりあきらめてました。ありがとうございます。