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計算の途中で頭パニック！

2001/07/24 15:34

(1) AB=2AC,cosA=9/16の△ABCにおいて、 BCを直径とする半円をBCに関して頂点Aと反対側に作る。辺BCを２：１に内分する点をＰとし、直線APと半円との交点をＱとする。 AQベクトル＝αABベクトル＋βACベクトルとするとき、 αの値とAP：PQの比を求めよ。この問題であと少しで解けそうな所までいったんですけど αとβの２次方程式がでてきて、しかも因数分解できません。ＣＱ⊥ＢＱを用いてα、βの値を出そうと思って ABベクトル・ACベクトル＝lABl×2lABl×cosA＝9/8lABl2乗 lACl2乗＝４lABl2乗という風にlABlを基準にして解いたら α2乗＋α（9/4β－17/8）＋４β2乗－41/8β＋9/8＝０という式がでてきました。分数が入っていて分かりにくいので頭パニックです。どこが違っているのか、アドバイス下さい。 (2) △ABCにおいて、∠Aの２等分線と辺BCの交点をＤとし、その外接円の中心をＯとする。 AB=2、AC=3、∠A＝θ、1/2ABベクトル＝ｂベクトル、 1/3ACベクトル＝ｃベクトルとするとき、 AOベクトルをｂベクトル、ｃベクトル、θで表せ。これも途中の式で頭がパニックになりました。 AB、ACの中点をそれぞれＭ、ＮとするとOM⊥AM、ON⊥AN AOベクトル＝ｓｂベクトル＋ｔｃベクトル（ｓ・ｔは実数）とおく lAMl=lANl=lmlとするとlbl=lml、lcl=2/3lmlとかけるｂベクトル・ｃベクトル＝2/3lml2乗cosθ lbl2乗=lml2乗 lcl2乗=4/9lml2乗以上より lml2乗（１－ｓ－2/3ｔcosθ）＝０ lml2乗（－ｓcosθ＋１－2/3ｔ）＝０それぞれ両辺lml2乗で割ったあとから分からなくなりました。どこが間違っているのか、アドバイス下さい。

chemistry
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数学・算数
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shushou
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2001/07/25 03:07 回答No.3

まず(2)について＞どこが間違っているのか、アドバイス下さい。合っていますよ。ただ高校生なら誰でも１度は勘違いするポイントがあってそこでつまずいているだけです。よーく問題文を見てください。＞AOベクトルをｂベクトル、ｃベクトル、θで表せ。 θで表せ、とあるでしょう。つまり、答えの中にθが入っていてもいいよ、と出題者は言っているのです。もっというと、答えの中にcosθやsinθやtanθが入っていてもいい、のです。ですから、１－ｓ－2/3ｔcosθ＝０－ｓcosθ＋１－2/3ｔ＝０をs,tの連立方程式とみて普通に解けばいいんですよ。上の式よりs=1-2/3tcosθなのでこれを下の式の代入して整理すると (2cosθ^2-2)t=3cosθ-3 よって、 t=3(cosθ-1)/2(cosθ^2-1)=3/2(cosθ+1) （分母を因数分解するとcosθ-1で割れますね。）またs=cosθ/(cosθ+1）と分かります。これを AOベクトル＝ｓｂベクトル＋ｔｃベクトルに代入すればOKです。 (1)について chemistryさんは＞ＣＱ⊥ＢＱを用いてα、βの値を出そうとしたようですが、この条件だけでは残念ながら答えは出ません。ＣＱ⊥ＢＱという条件は点Qは円周上にあるよ、といっているだけですから点Qの位置が特定できませんね。それにα、βという２つの分からないものを求めたいのですから条件が２つ、つまり方程式が２つ必要です。（これ大事です。問題を解くときには常に次のことを意識すると良いですよ。未知数の数と同じ個数の方程式が（普通は）作れるはず）そこで点Qの位置を決める条件を考えますと１つは、点Qが円周上にあるための条件もう１つはnikorinさんのおっしゃるように３点A,P,Qが一直線上にあるための条件ですね。 nikorinさんのようにＣＱ・ＢＱ＝０をｋで表してもよいですし、２つ目の条件はβ＝2αと表せますから、それをchemistryさんの努力の結晶の＞α2乗＋α（9/4β－17/8）＋４β2乗－41/8β＋9/8＝0 に代入しても答えが出ます。なお、点Qが円周上にあるための条件は半円の中心をMとして MQ＝BCの半分の長さととらえてもOKです。ただし、いずれの方法も超めんどくさい計算を経て２次方程式がでてきますが、因数分解できずめちゃめちゃ汚い答えになります。こういう問題は多少の計算ミスは気にしなくていいと思いますよ。長々と書いてしまってごめんなさい。

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