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計算の途中で頭パニック！
(1) AB=2AC,cosA=9/16の△ABCにおいて、 BCを直径とする半円をBCに関して頂点Aと反対側に作る。 辺BCを２：１に内分する点をＰとし、 直線APと半円との交点をＱとする。 AQベクトル＝αABベクトル＋βACベクトルとするとき、 αの値とAP：PQの比を求めよ。 この問題であと少しで解けそうな所までいったんですけど αとβの２次方程式がでてきて、しかも因数分解できません。 ＣＱ⊥ＢＱを用いてα、βの値を出そうと思って ABベクトル・ACベクトル＝lABl×2lABl×cosA＝9/8lABl2乗 lACl2乗＝４lABl2乗という風にlABlを基準にして解いたら α2乗＋α（9/4β－17/8）＋４β2乗－41/8β＋9/8＝０ という式がでてきました。 分数が入っていて分かりにくいので頭パニックです。 どこが違っているのか、アドバイス下さい。 (2) △ABCにおいて、∠Aの２等分線と辺BCの交点をＤとし、 その外接円の中心をＯとする。 AB=2、AC=3、∠A＝θ、1/2ABベクトル＝ｂベクトル、 1/3ACベクトル＝ｃベクトルとするとき、 AOベクトルをｂベクトル、ｃベクトル、θで表せ。 これも途中の式で頭がパニックになりました。 AB、ACの中点をそれぞれＭ、ＮとするとOM⊥AM、ON⊥AN AOベクトル＝ｓｂベクトル＋ｔｃベクトル（ｓ・ｔは実数）とおく lAMl=lANl=lmlとするとlbl=lml、lcl=2/3lmlとかける ｂベクトル・ｃベクトル＝2/3lml2乗cosθ lbl2乗=lml2乗 lcl2乗=4/9lml2乗 以上より lml2乗（１－ｓ－2/3ｔcosθ）＝０ lml2乗（－ｓcosθ＋１－2/3ｔ）＝０ それぞれ両辺lml2乗で割ったあとから分からなくなりました。 どこが間違っているのか、アドバイス下さい。
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まず(2)について ＞どこが間違っているのか、アドバイス下さい。 合っていますよ。 ただ高校生なら誰でも１度は勘違いするポイントがあって そこでつまずいているだけです。 よーく問題文を見てください。 ＞AOベクトルをｂベクトル、ｃベクトル、θで表せ。 θで表せ、とあるでしょう。 つまり、答えの中にθが入っていてもいいよ、 と出題者は言っているのです。 もっというと、答えの中にcosθやsinθやtanθが入っていてもいい、のです。 ですから、 １－ｓ－2/3ｔcosθ＝０ －ｓcosθ＋１－2/3ｔ＝０ をs,tの連立方程式とみて普通に解けばいいんですよ。 上の式よりs=1-2/3tcosθなのでこれを下の式の代入して整理すると (2cosθ^2-2)t=3cosθ-3 よって、 t=3(cosθ-1)/2(cosθ^2-1)=3/2(cosθ+1) （分母を因数分解するとcosθ-1で割れますね。） またs=cosθ/(cosθ+1） と分かります。これを AOベクトル＝ｓｂベクトル＋ｔｃベクトル に代入すればOKです。 (1)について chemistryさんは ＞ＣＱ⊥ＢＱを用いてα、βの値を出そうと したようですが、この条件だけでは残念ながら答えは出ません。 ＣＱ⊥ＢＱという条件は点Qは円周上にあるよ、 といっているだけですから点Qの位置が特定できませんね。 それにα、βという２つの分からないものを求めたいのですから 条件が２つ、つまり方程式が２つ必要です。 （これ大事です。問題を解くときには常に次のことを意識すると良いですよ。 未知数の数と同じ個数の方程式が（普通は）作れるはず） そこで点Qの位置を決める条件を考えますと １つは、点Qが円周上にあるための条件 もう１つはnikorinさんのおっしゃるように ３点A,P,Qが一直線上にあるための条件 ですね。 nikorinさんのようにＣＱ・ＢＱ＝０をｋで表してもよいですし、 ２つ目の条件はβ＝2αと表せますから、それをchemistryさんの努力の結晶の ＞α2乗＋α（9/4β－17/8）＋４β2乗－41/8β＋9/8＝0 に代入しても答えが出ます。 なお、点Qが円周上にあるための条件は 半円の中心をMとして MQ＝BCの半分の長さ ととらえてもOKです。 ただし、いずれの方法も超めんどくさい計算を経て ２次方程式がでてきますが、因数分解できず めちゃめちゃ汚い答えになります。 こういう問題は多少の計算ミスは気にしなくていいと思いますよ。 長々と書いてしまってごめんなさい。
