図形の問題

質問

画像の図でx：yの比率はどのように求めますか？

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

正方形の一辺の長さをAとして
x＝Acos67.5°
y＝Acos22.5°
です
サイン、コサインの値は計算機で求めてもよいし
加法定理から次のように求める事もできます
cos2θ＝2cos²θ−1
θ＝67.5とすれば
cos²67.5＝(cos135+1)÷2＝(−√2+2)/4
cos67.5＝√(2−√2)/2
また
sin²67.5+cos²67.5＝1より
sin²67.5＝(√2+2)/4
sin67.5＝√(2+√2)/2＝cos22.5

ゆえに
x:y＝A√(2−√2)/2:A√(2+√2)/2
＝√(2−√2):√(2+√2)
＝√(4−2):2+√2
＝√2:2+√2
＝1:√2+1

補足

回答ありがとうございます！助かりました！

この図は正方形を左に22.5度傾けた図なんですが、感覚的にx：y＝22.5：67.5＝1：3なのかなと思って、その比率と角度から逆算して図形を描いてみたらどうしても正方形にならなくて困っていました。

なんとなく正方形を傾ければ左右同じ割合変化になるんじゃないかと思ってしまったんですが、そうではない理由を大まかに文章で説明することってできますか？

回答No.3

maskoto

角度って、扇方の弧の長さと半径の比に比例するんですよ
だから、今回のxとyの比には基本的に関係してこない

今回のxとyって、
真上から光線を当てた時に正方形の各辺によってできる影を
(下に水平に設置した)スクリーンに映したものですよね
この(光線に垂直なスクリーンに映る)影って、光線の降り注ぐ角度によって、その比は変わって来ますよね！
(極端な例で言えば、正方形の一辺に垂直な方向から光を当てれば、光線に垂直なスクリーンに映る影の比は0:Aになるし、今回のような角度から当てれば、比は先程の解説のようになる)
なので、x:yの比に直でかかってくるのは回転角度ではなくて、光線のあたる角度＝正方形の傾き具合
なんです

回答No.2

gamma1854

正方形の一辺の長さを１とします。このとき、
x : y = cos(67.5°) : cos(22.5°)
cos(22.5°)c と書くと
x : y = (4c^3-3c) : 1
=(4c^2 - 3) : 1
=(2*cos(45°) - 1) : 1
=(√2 - 1) : 1