２進数＆１０進数＆１６進数の変換

質問

◆　コンピュータで使用される2進数

　人が日常使用している数値は10進数ですが、コンピュータは内部で数値を表現する場合、2進数を使用
　しています。しかし、「0」と「1」だけの2進数では人が分かりにくいため、人間が見えるところでは
　コンピュータは2進数を10進数や16進数が変換して表現しています。ここではその変換方法を学びます。

　◆　2進数

　2進数とは、「0」と「1」の2種類の数字を用いて全ての数を表現します。10進数では0から数えて「9」の
　次は位があがることになりますが、2進数では「 1 」の次に位があります。位があがれば、その新しい桁は
　 「 1 」 となり、それ以下の桁は全て 「 0 」 となります。それでは、2進数の数の増え方を見てみましょう。

　ところで、2進数を表現する時は一般的に8桁単位で表現するため、8桁未満の場合は頭に0をつけます。
　つまり、上の2進数の値は順番に 00000000　→ 00000001 → 00000010 → 00000011 → 00000100 →
　00000101 → 00000110 → 00000111 → 00001000 と表します。以下は2進数と10進数の対応表です。

2進数と10進数の対応表
10進数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ・・・
2進数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 ・・・

　◆　2進数から10進数への変換方法

　10進数と2進数の対応表は以下の通りです。2進数の桁が上がる時の10進数の値が以下となります。

2進数と10進数の対応表2
10進数 1 2 4 8 16 32 64 128
2進数 00000001 00000010 00000100 00001000 00010000 00100000 01000000 10000000

　従って、2進数で「1」となっている桁に対応する上記の10進数の基準値を合計することにより、2進数から
　10進数の値を求めることができます。例えば、2進数の「 00101010 」を10進数に変換する場合、基準値が
　32、8、2の所でビットが1なので下図の通り、2進数の「 00101010 」は10進数では「42」だと分かります。

　◆　10進数から2進数への変換方法

　10進数の数値を「 0 」になるまで「 2 」で割り算していき、その結果の「余りの数 」を並べることで
　ある10進数の値を2進数の値へ変換することができます。それでは、具体的に変換して見て行きましょう。

　例えば、10進数の「160」を2で割り算していくと上図の結果となります。後は、余りの数を下から順番に
　並べれば 「 10100000 」 の値が算出されます。次に、「22」を2で割り算していき余りの数を下から順に
　並べれば 「 10110 」 の値が算出されます。ネットワークにおいては、2進数を一般的に8桁で表示する
　ことから、8桁になるよう上位に「 0 」を追加して「 00010110 」とします。当然「 10110 」と同じ値。
因みにここ参照ですがhttp://www.infraexpert.com/study/ip1.html

なぜこれが１０進数なんでょうか？
１０進数というのは、0から9までの数字が1増えて１０になるんですよね？
なのに２進数と１０進数の対応表２を見ると
倍数になっているのですが、、
これはいったいどういう違いなんでしょうか？

回答お願いいたします。
ほかにも解らなそうな点は、教えて頂けると幸いです。

回答No.7

SoltyRevant · ベストアンサー

No2, No5です。

申し訳ございません。
「9641」はただの例としてあげた数字でした。

割った値の余りを下から読み上げる手法は、
10進数の数字を、n進数に変換する際に使われます。

以下は例といたしまして、
10進数の数字「7564」をn進数に変換することを考えて見ます。
変換する場合、基数[n]で割ることによる余りを読み上げていく形となりますので、
以下のような計算手順が出来上がります。

====================
「n = 2」
★10進数 -> 2進数
7564 / 2 = 3782 ... 0
3782 / 2 = 1891 ... 0
1891 / 2 = 945 ... 1
945 / 2 = 472 ... 1
472 / 2 = 236 ... 0
236 / 2 = 118 ... 0
118 / 2 = 59 ... 0
59 / 2 = 29 ... 1
29 / 2 = 14 ... 1
14 / 2 = 7 ... 0
7 / 2 = 3 ... 1
3 / 2 = 1 ... 1
1 / 2 = 0 ... 1

下から読み上げると、
1110110001100(2) ＝ 7564(10)
となります。

====================
「n = 8」
★10進数 -> 8進数
7564 / 8 = 945 ... 4
945 / 8 = 118 ... 1
118 / 8 = 14 ... 6
14 / 8 = 1 ... 6
1 / 8 = 0 ... 1

下から読み上げると、
16614(8) ＝ 7564(10)
となります。

なぜこのような計算で結果がでるのか？
不思議ですよね。
ならば、上記要領で、
「n = 10」で、10進数の整数を10進数に変換してみましょう。

====================
「n = 10」
★10進数 -> 10進数
7564 / 10 = 756 ... 4
756 / 10 = 75 ... 6
75 / 10 = 7 ... 5
7 / 10 = 0 ... 7

下から読み上げると、
7564(10) ＝ 7564(10)
となります。

...
数字は基数で割ることで余りは常に、
最下位の桁の数字となることになることに気付きましたでしょうか？

10進数->10進数の変換は、結果としては無意味なことですが、
その数字が導き出される手順は2進数、8進数の変換でも同様のメカニズムとなります。
当たり前といえば当たり前のことですが、
何回も見ていれば、その当たり前に気付けるかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
ようやく解りました。

回答No.8

t-aka

回答No.1です。

10進数→2進数の変換について、
文字で説明するよりも、wikipediaにわかりやすく記載されています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%80%B2%E6%B3%95
【十進法から二進法への変換方法】を参照ください。

最初の割り算は0ビット目、次の割り算は1ビット目、といった具合に続きます。
最後の割り算は最上位のビットなので、
最上位のビットから順番に並べていきます。

お礼

回答ありがとうございます。
ようやく解りました。

回答No.6

OKWavex

＞２進数と１０進数の対応表２を見ると倍数になっているのですが、
＞これはいったいどういう違いなんでしょうか？

対応表２はすべての2進数ではなく、001、010、100・・・といった各桁に対応する１０進数のみを抜き出したものです
１０進数が桁が上がると１０倍になるのに対し、２進数は桁が上がると２倍になるので、各桁のみを取り出した１０進数は倍数になっているのです
ちなみに各桁の値は１０進数では10、10ｘ10、10ｘ10ｘ10、10ｘ10ｘ10ｘ10・・・と増えていくのに対し、２進数では2、2ｘ2、2ｘ2ｘ2、2ｘ2ｘ2ｘ2・・・と増えていきます

お礼

回答ありがとうございます。
ようやく解りました。

回答No.5

SoltyRevant

> 回答ありがとうございます。
> あと一つ疑問点があるので質問させていただきます。
>
> 10進数から2進数への変換方法で余りの数を出していき、下から順に
> 101000とか余った数と余らなかった数で順に読んでいき２進数に変換する方法ですが、なぜあれは、下から読んでいくのでしょうか？
> その理屈が解りません。

No2です。

解らないならば、全て、10進数で置き換えて考えてみましょう。

（10進数の数値を10進数で分解）

「9641」
9641 / 10 = 964 ... 1
964 / 10 = 96 ... 4
96 / 10 = 9 ... 6
9 / 10 = 0 ... 9

下からつなげると、「9641」になります。
余りに出てくる値は常に、一番下位の桁が出てくる形となります。

この理屈と全く同じ理論を、2進数、16進数でも当てはめることが可能です。

お礼

回答ありがとうございます。
そもそもこの9641という数字はどこから出てきたのでしょうか？

かけるの場合は、上から読み上げて
余りの場合は、下から読んで
これも計算の法則が解ればわかる事なんでしょうか？

回答No.4

tadashi089431

No.3です。

１バイトを４ビットと書いてしまいましたが、記述間違いです。
正しくは、１バイトは８ビットです。

お礼

回答ありがとうございます。
ようやく解りました。

回答No.3

tadashi089431

>１０進数というのは、0から9までの数字が1増えて１０になるんですよね？

まあそのとおりなんですが、対応表では、１０進数の１～１０に対応する２進数が表化されていますが、対応表２では、単純に２進数で繰り上がった値における場合の１０進数を表化しているだけのことです。

なので、当然、１０進数の１～１０に相当する２進数は対応表１と全く同じです。

１０進数表記値が変われば２進数表記値も変わる。
たったこれだけのことですよ。

どうしても納得出来ないって時は、パッと閃いた１０進数を２進数に変えてみればわかります。
その逆も同じで、閃いた２進数の値を１０進数に変えてみても全く同じ結果が得られますよ。

＞ネットワークにおいては、2進数を一般的に8桁で表示する

これは、間違った捉え方です。
これはネットワークだけに限らず、コンピュータの計算において、２進数表記はすべて４桁区切りで表記します。（一部３桁区切りを得意としているコンピュータもありますが）
なぜ、２進数表記を４桁区切りで表すかについてですが、コンピュータは、「バイト単位で処理をしているから」というのがそもそもの回答になってしまいますが・・・

じゃあ「バイト」ってなによ？ってことになると思います。
「バイト」というのは、コンピュータが計算処理を行う最小単位になります。そして、このバイトは、４ビットで構成されています。つまり、２進数でいうところの「０」や「１」が入っているところをビットといい、これが４つ集まって、１バイトとなります。
つまり、

１０進数（２２）＝２進数（00010110）＝８ビット＝２バイト

ということになります。
CPUの主記憶装置やHDD、FDD、メモリなどの外部記憶装置の容量にバイトが使われているのも、同じ意味になりますが、この場合は少し違っていて、記憶装置へ情報を書き込む場合、そのエリア（ビット）に情報があるのかないのかという事を書き込んでいます。つまり２進数ですね。当然ながら、情報がある場合は「１」、ない場合は「０」が書き込まれます。
こうして情報を書き込んでいく場合、先にも書きましたが、コンピュータはバイト単位で処理を行うため、コンピュータが計算間違いをしないように最小容量は１バイトにしなければなりません。こういう制約があるから２進数は４桁区切りで表記しなければならないわけなのです。そして、なぜ４桁区切りなのかというと、１バイト＝４ビットなわけですから４桁となるわけです。
ちなみに１６進数で表記されている値を2進数で表すときには桁の値を4桁ごとに表します。１６進数の１桁当たりの値を２進数に表記しなおす場合、8桁になります。
例えば、１６進数「F」を２進数で表記すると「1111」になり、１０進数に表記すると「15」になります。
もう一つやってみると、１６進数（A5）を２進数に表すと「10100101」となり、１０進数に表すと「165」になります。この場合の計算法は、まず「A」を２進数「1010」で表し、次に「５」を２進数「0101」で表したものをくっつけるというやり方が最も楽なやり方です。
本来の１６進数→２進数の換算法とは違いますが、楽なやり方で計算しても換算法で計算しても同じ結果になるのですから、理解しやすい方法で換算すると良いでしょう。

脱線させて、参考までに・・・
ゲーム等で「フラグが立つ」という言い方をしますが、これは、１ビット単位の２進数でいうところの「０」が「１」になる事から来ている言葉で、もっとわかりやすく説明すると、「旗揚げゲーム」というものをやったことがあると思います。「白あげて、赤上げて～」ってゲームです。
このゲームでも同じことがいえますが、「白旗」が１ビット、「赤旗」が別の１ビットとした場合、「旗が上がっていない」場合のビット値は「０」であり、「旗が上がっている」場合のビット値は「１」として考えます。
C言語のBOOL型や、VBやJavaのBoolean型は、このビット値のことを指していると考えてもいいでしょう。
BOOL型やBoolean型は、TRUEやFALSEという論理値で表されますが、これを２進数に表すと、

TRUE＝１（または－１）
FALSE=0

となります。TRUEの「－１」というものは、２進数「1」に加えて負のフラグメント（ー）を足しただけの事で、絶対値は「１」ですから同じ意味になります。

2進数がなぜこうなるのかっていうのは、コンピュータがどういう性格を持っているのかに深く関わっています。
ネットワークだからこうだと誤った認識をしていると、コンピュータがどう処理をするのかがわからなくなってしまいますから、正しい認識を心がけるようにしたほうが良いです。

もちろん、コンピュータですから、PCでもコンピュータネットワークでも、電話でもFAXでも携帯でも、PS４などのゲーム機でも全く同じ考え方です。もっといえば、無線機だってコンピュータで処理されますからPCと同じ考え方です。

また、なぜこの２進数が生まれたのかというと、元々コンピュータは、真空管で計算をしていました。更にいえばコンピュータは軍事的産物の１つだったんですね。
真空管ですから、１つの真空管ではビットでの処理しかされません。ビット処理だと、成否判定しかできないわけです。これに文字判定や計算判定、暗号処理などが加わると、とてもじゃないけど処理なんてしきれませんでした。また、人間がよく使う１０進数だと、暗号化した場合に簡単に解読されてしまいます。そこで考えだされたのが８進数や１６進数といったものです。ただ、８進数は文字判定にはあまり相性が良くなく、計算しようにも８進数は３桁表示になってしまい、ビット計算に於いて割り切れない事が起こってくるため、コンピュータとしても相性は良くありませんでした。そこで今現在主流となっている１６進数を用いることになったのです。１６進数は２進数やコンピュータとも相性がよく、この１６進数の１桁は２進数で４桁で表されることから、１バイトという単位が開発されました。
このことから、コンピュータにおける２進数表記は４桁で表すように統一され、真空管から半導体に変わった現在のコンピュータにおいても当時の考え方が使われているということになります。

ちなみに８進数は使われていないのかというと、使われています。
主に数値計算用コンピュータに於いて使用されています。言語でいうと「FORTRAN」が８進数計算を得意としています。
また、アポロ時代のNASAは１６進数ではなく８進数で距離、時間などの計算をしていたようです。
映画「アポロ１３」や「ライト・スタッフ」、また、日本では廃盤になってしまいましたが、米国ドラマ「From the Earth」では８進数計算をしているシーンもありますよ。
「From the Earth」というドラマは、米国の宇宙開発をドラマ化したものです。

お礼

回答ありがとうございます。
ようやく解りました。

回答No.2

SoltyRevant

10進数で考えると、「10」は基数と呼ばれるベースとなる数字です。
8進数で考えると、「8」が基数に、16進数で考えると、「16 (=F) 」が基数となります。
全ての進数の計算は基数を元に計算されます。

「9621」という数字について考えましょう。

10進数ですと、「基数」は10です。
それぞれの桁には、「重み」と呼ばれるものがあり、
それぞれ、基数の累乗となります。

---------------
10^0 = 1
10^1 = 10
10^2 = 100
10^3 = 1000
---------------

1の位から見ていくと、
9621の表現は、
(9 * 10^3) + (6 * 10^2) + (2 * 10^1) + (1 * 10^0)
=(9 * 1000) + (6 * 100) + (2 * 10) + (1 * 1)
=9000 + 600 + 20 + 1
=9621

となります。

この概念は2進数、8進数でも当てはめることができます。
二進数の場合、基数は「2」となりますので、
以下の桁の「重み」は以下の通りとなります。

---------------
1桁目：2^0 = 1
2桁目：2^1 = 2
3桁目：2^2 = 4
4桁目：2^3 = 8
5桁目：2^4 = 16
6桁目：2^5 = 32
---------------

11011を見ると、
(1 * 2^4) + (1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0)
=(1 * 16) + (1 * 8) + (0 * 4) + (1 * 2) + (1 * 1)
=16 + 8 + 0 + 2 + 1
=27

となります。

2進数の計算が、2倍ずつになっているのは、この「重み」が「基数」の累乗で決まる原則なため、
2進数ではたまたま、2倍ずつになっているからとなります。

お礼

回答ありがとうございます。
あと一つ疑問点があるので質問させていただきます。

10進数から2進数への変換方法で余りの数を出していき、下から順に
101000とか余った数と余らなかった数で順に読んでいき２進数に変換する方法ですが、なぜあれは、下から読んでいくのでしょうか？
その理屈が解りません。

回答No.1

t-aka

二つ目の表で言いたいことは、本文を引用すると
『【2進数の桁が上がる時】の10進数の値が以下となります。』

2進数と10進数のひも付ではなく（それは最初の表で説明している）、
繰り上がるときの挙動だけを抽出して示したものです。
2進数の桁数を8ビットで表現していること以外は、同じことを繰り返し書いています。

＜見方を変えると、ほら。
　2進数で1が一つ左にずれると、10進数は2倍になるよね。＞
そういったことを作者は暗に示しているのでしょう。

最初の表が理解できれば十分だと考えます。

お礼

回答ありがとうございます。
あと一つ疑問点があるので質問させていただきます。

10進数から2進数への変換方法で余りの数を出していき、下から順に
101000とか余った数と余らなかった数で順に読んでいき２進数に変換する方法ですが、なぜあれは、下から読んでいくのでしょうか？
その理屈が解りません。