微分 積分

質問

赤枠の問題ですが、解答もあります。解答を見ただけではちょっと理解が難しいです。

式だけでなく、どのように左の式から右の式へと行くのか言葉を補ってわかりやすく解説して欲しいです。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

(1)
(問題文のg(x)と、投稿分のg(x)は別物として区別して下さい)

g(t)＝1/(1+t²)とおき、
g(t)を不定積分したものを大文字でG(t)
つまり、G(t)＝∫dt/(1+t²)とおきます
すると
定積分は、不定積分した結果に積分区間を代入して計算なので
∫(x)＝∫[0→x]dt/(1+t²)
＝[G(t)]　　…区間(0→x)
＝G(x)−G(0)

(d/dx)f(x)＝(d/dx)｛G(x)−G(0)｝
＝G'(x)−｛G(0)｝′
＝g(x)−0　　←←←定数G(0)の微分は0
＝g(x)
＝1/(1+x²)
となります

つまりは、積分と微分は互いに真逆の操作だと考えると
g(t)を積分して微分したものは結局は元の形に戻りg(t)になる
ただし、途中でG(t)に積分区間xを代入した影響でtからxに変わってg(x)を得たと言う事です

(2)
y＝1/x
Ｚ＝f(y)
とおくと、dy/dx＝(1/x)′
dＺ/dy＝f′(y)
なので
(d/dx)f(1/x)＝(d/dx)f(y)＝dＺ/dx
です
定理(合成関数の導関数):
dZ/dx＝(dZ/dy)(dy/dx)を用いれば
dZ/dx＝f′(y)・(1/x)′＝f′(1/x)・(1/x)′
を得ます

まずはここまで
不明な点があれば補足して下さい
また理解できたら、お知らせ下さい
次の解説へ進みます

お礼

自分なりにゆっくりと考えてみましたので、続きの解説があればよろしくお願いします。

補足

ありがとうございます。少し納得のしてない所があるのですが、自分でもう少し考えてみます。今テスト中で頭に色々詰め込みすぎて…落ち着いて考えられないのかもしれません。また後日返答します。

回答No.2

maskoto

(3)模範解答の1行目については
(気付きは必要だが)言われてみればその通り
と納得できるかと思います

ところで、微分して0になる関数は何かと考えてみると、それは定数、と言う事になりますから
微分するまえの関数については
f(x)+f(1/x)＝C(定数)…①とおけます
さて、次も気付きが必要ですが
x＝1を代入すると
f(x)とf(1/x)の両方がf(1)になることから
①より2f(1)＝C…②′を得ます
Cが分かればそれが答えなので
f(1)の情報がもう一つほしい、と言う事で何かないかと探すと、問題文に
f(x)＝∫dt/(t²+1)…積分区間0〜x
と言う式にx＝1を代入すれば良いことに気が付きますから
f(1)＝∫dt/(t²+1)…積分区間0〜1
に行きつきます
この形の積分ではt＝tanθとして置換積分するのがセオリー(暗記しておくべき)で
その結果は画像の通りとなり、f(1)＝π/4になることがわかります
ゆえに②′より答えであるCの値が求まると言う流れです

こんな感じですが、(1)〜(3)について、不明な点があれば些細なことでもよいので質問して下さい

お礼

丁寧に順をおっての説明ありがとうございます。ひらめき、気付きがないと前に進めないですね。問題をこなせばパッと気付けるようになるのかな。頑張ります。

複数回にわたり、回答ありがとうございます。