算数：三角形の中に2つの円がある図形問題

質問

以下の図形問題について、解法を箇条書きでも構わないので教えていただけると幸いです。
尚、この問題は三角関数や√などを使わずとも
中学受験算数で学ぶ範囲で解けるものとされているようです。

下図の△ABCの内側には互いに接している同じ大きさの円Oと円Pがあり、
円OはABとBCとも接し、円PはBCとCAとも接しています。
また、DEは点Oを通るABに平行な線です。
AB=14、AE=3、EC=11である時△ABCの面積はいくつでしょうか?

自分の方で考えた限りでは
△ABC∽△EDCとなることからED=11となり、
円の半径が分かれば□ABDEを台形として面積を求められ、
□ABDEの面積:△ABCの面積=(14^2-11^2):14^2となることから
あとはこの面積比で△ABCの面積を求められると考えているのですが円の半径が分からず詰まっています。

どなたか正解の解法をご教示いただければ幸いです。

回答No.5

f272 · ベストアンサー

三角形ACFと図の青い三角形は相似です。なぜならACやCFに平行になるように青い三角形の辺を描いているからです。そうすると対応する辺の長さの比は等しく、CF/AC=R/3です。CF=AC*R/3を代入すればAC*CF=AC^2*R/3が得られます。

お礼

ご返答ありがとうございます。
なるほど、△ACFと青い三角形の相似比からだったんですね。
おかげさまで、合点行きました。
総じて複数パターンでの△ABCの求め方から導けることが分かりました。
これを持ちまして、この問題は解決済みとさせていただきます。

回答No.4

staratras

三角関数を使った無粋な回答です。（あらすじだけ）
下の図のように、点E,F,G、H、Iを定めます。
内接する２円の半径をr,BG＝ｘ，∠BAC=θとします。

三角形AIEにおいて、r=３sinθ　…（１）

三角形ABHにおいて、r+x=14sin(θ/2）…（２）

三角形FBGにおいて、BFは∠ABCの二等分線で
∠ABC=（180°−θ)/2＝90°-θ/2だから
r=xtan(45°-θ/4）…（３）

（１）（２）（３）を連立させて解くと　sinθ=7/9　が得られます。

三角形ABCの面積は　1/2・AB・AC・sinθ=1/2・14・14・7/9＝686/9

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに三角関数を使用しての解法は設問の想定解ではないかもしれません。
しかし、最後は686/9が導かれ、他の回答者の方の答えとも一致してることから
この問題の答え△ABCの面積=686/9であることに確信持てました。

回答No.3

f272

HはAからBCに下した垂線の足で，FはCからABに下した垂線の足です。
(AH+BH)^2-AB^2=AH^2+BH^2+2*AH*BH-AB^2=2*AH*BHです。(AH+BH)^2-AB^2=AB*CF=AC*CF=AC^2*R/3 （ただしRは内接する円の半径）
(AH+BH)^2-196=196*R/3
ところが（AH-R)+(BH-R)=AB=14ですのでR=(AH+BH-14)/2になります。
(AH+BH)^2-196=196*(AH+BH-14)/2/3
(AH+BH+14)=98/3
R=(AH+BH-14)/2=(98/3-28)/2=7/3
(△ABCの面積)=(14+11)/2*7/3*(196/(196-121))=686/9

お礼

いつもご回答ありがとうございます。
何度も読み返し、理解しようと思ったのですがわからないところがありました。

(AH+BH)^2-AB^2=AB*CF=AC*CF=AC^2*R/3 （ただしRは内接する円の半径）
上記の「AC*CF=AC^2*R/3」とありますが、どうしてそうなるのかが分かりませんでした。
添付してくださった図の青い部分が関係してくるのでしょうか・・・？

申し訳ないですが、上記の点についてだけでも
どうしてそうなるのか教えていただけますでしょうか?
よろしくお願いします。

回答No.2

f272

いつもむつかしい問題で頭を悩ませています。これも△ABCの面積が76.2222=(7/2)*(14/3)^2=(686/9)になることはわかりますが，うまい説明が思いつきません。

お礼

そうなんですよね。算数の図形問題、自分も嫌いではないので挑戦してはみるものの解けない問題も多いです。
そして、答えをありがとうございます！
(7/2)*(14/3)^2=(686/9)とのことで承知しました。
どういう解法かが気になりますが、自分の方でもこの値をヒントに改めて考えてみたいと思います。

回答No.1

Nakay702

＞△ABC∽△EDCとなることからED=11となり、円の半径が分かれば□ABDEを台形として面積を求められ、□ABDEの面積:△ABCの面積=(14^2-11^2):14^2となることから あとはこの面積比で△ABCの面積を求められると考えているのですが円の半径が分からず詰まっています。
⇒そうですね。お書きのとおりだと思います。

一部繰り返しを含みますが、さらに敷衍します。
点Oを通り線分ABと直交する点をPとすれば、線分APBは円Oの接線であり、POは円Oの半径（ｒ）となる。さらにPOをｒ分だけ延長した点（Ｑ）を通り、かつ線分ＤＥと平行になる直線を引き、線分ＢＣおよびＣＡとの交点をそれぞれFおよびGとする。

それぞれの線分と線分の関係などをまとめると、次のとおりです。
AB //DE //FG、AE＝EG＝３、AB⊥OPQ、PO＝OQ＝ｒ（＝台形ABDEの高さ）。

そして、面積の関係では、次のことが言えます。
①△ABCの面積＝□ABDE＋△EDC、□ABDEの面積＝(14＋11)r / 2となり、
面積比は、△ABC：□ABDE：△EDC＝14²：(14²－11²)：11²となる。
②△ABCの面積＝□ABFG＋△GFC、□ABFGの面積＝(14＋8) 2r / 2となり、
面積比は、△ABC：□ABFG：△GFC＝14²：（14²－8²）：8²となる。

「三角関数*や√などを使わず」という条件下で私の考えたのはここまでです。
（＊例えば、余弦定理：△ABCの面積＝14²sin A / 2、△EDCの面積＝11²sin A / 2など）。

お礼

ご回答ありがとうございます。
やはり半径の長さがボトルネックになってしまうようですね・・・
ちなみに、もし仮に三角関数や√が使えたら答えが導けそうでしょうか?