中3図形

質問

図のように、AB=6cm、AC=10cm、∠ABCが直角の直角三角形ABCがあり、それぞれの辺に点P、Q、Rで接する円Oを描いた。また点Aから点Oを通る直線を引き、BCとの交点をDとし、点Dから∠ADEが垂直となるようにAC上に点Eをおいた。
四角形RODEの面積は、△EDCの面積の何倍かの求め方を教えてください。

回答No.12

kenjoko · ベストアンサー

前の方々と重複しますが、中３ということで、分かりやすく説明します。

添付画像には与えられた値等を書き出しておきました。単位はｃｍ

指針　　求めやすい部分の面積を求めて、その面積の差から□ＯＤＥＲとΔＥＤＣを求め、各々の大きさの比を求める。

三平方の定理を用いて　　ＢＣ＝８　　ＡＤ＝３√５

線分ＡＤは∠Ａの　２等分線であるから　ＢＤ＝３、ＤＣ＝５　

　ここは自分で調べてみよ

内接円の半径をrとおくと

(６r+８r+１０r)２＝ΔＡＢＣ＝６＊８／２＝２４　　が成り立つ。ここも自分で調べてみよ

　　　１２r＝２４　　　　∴　r＝２

ＡＲ＝ＡＰ＝ＡＢーＰＢ＝６－２＝４

ここでまた、三平方の定理を用いて　ＡＯ＝２√５

ΔＡＲＯ∽ΔＡＥＤ　相似比　４：３√５　　∴ＥＤ＝３√５／２

ΔＡＤＣ＝（5/8）ΔＡＢＣ＝ 5/8*24＝１５

ΔＡＤＥ＝３√５＊３√５／２＊１／２＝４５／４

ΔＡＲＯ＝４＊２／２＝４

□ＯＤＥＲ＝ΔＡＤＥーΔＡＲＯ

　　　　　　＝４５／４－４＝２９／４

ΔＥＤＣ＝ΔＡＤＣ－ΔＡＤＥ

　　　　＝１５－４５／４＝１５／４

□ＯＤＥＲ：ΔＥＤＣ＝２９／４：１５／４
　　　　　　　　　　＝２９：１５

これを分数で表わすと、求める解となる。

やり方は、このほかにもいろいろあるので、試してみるとよい。
そして、自分のやり易い解法を見つけよう。

回答No.11

kenjoko

No.９です。勘違いしていました。答えはやはり２９/１５になりました。

ご要望があれば、説明いたします。gohtrawさんありがとうございます。

回答No.10

gohtraw

ＯＤＥＲは台形にはならないですよね。ＯＤとＤＥは直交、ＯＲとＲＥが直交なので。

回答No.9

kenjoko

私の答えは５/６になりました。

どのように解いても１５/２９にはなりません、どこがおかしいのでしょうか。

三平方の定理から、ＢＣ＝８

線分ＡＢは∠ＢＡＣを二等分するので

ＢＤ＝３、ＤＣ＝５

ΔＡＢＣ∽ΔＤＥＣで、相似比は２：１

∴ＤＥ＝３、ＣＥ＝４

ΔＡＢＣ＝４ΔＤＥＣ＝２４

∴ΔＤＥＣ＝６・・・(1)

ΔＡＢＣ＝ΔＡＯＢ＋ΔＢＯＣ＋ΔＡＯＣ

　　　　＝(６r＋８r＋１０r）／２　　　　r:内接円の半径

　　　　＝１２r ＝２４　

　　　　　　　∴r＝２

ＡＥ＝ＡＣ－ＣＥ＝６

ΔＡＤＥ∽ΔＡＯＲより

ＡＥ：ＡＲ＝３：２　　ＡＲ＝２ＡＥ／３＝４

ＲＥ＝ＡＥ－ＡＲ＝２

よって、四辺形ＯＤＥＲは上底＝２、下底＝３、高さ２の台形であるから
ＯＤＥＲ＝（２＋３）＊２／２＝５・・・(2)

四辺形ＯＤＥＲ／ΔＤＥＣ＝５／６

となりましたが、どこでおかしくなったのでしょうか。

回答No.8

gohtraw

＃４です。訂正します。
　内心は高校の範囲でしたっけ。△APOと△AROについて、
AOは共通、PO=ROでいずれも直角三角形なので三平方よりAP=AR。よってこの二つの三角形は合同となり∠OAP＝∠OAR。

回答No.7

i_noji

とりあえず半径PO=2が出たら（POについては他の方がかいているので略）

△APO∽△ABDから
　AO:AD=2:3　・・・（１）
　BD=3、DC=5
△APO≡△AROから
　AP=AR=6　がでて
　AR:AC=2:5　・・・（２）　が分かり
（１）（２）から
△AOR=(2/3)×(2/5)×△DAC=4/15△DAC　・・・（３）

△EDC∽△DACから
　DC:AC=EC:DC
　5:10=EC:5
　EC=5/2
ここから
　EC:AC=1:4　がでて
△EDC=1/4△DAC　・・・（４）

四角形RODE=△DAC-△AOR-△EDC　で
（３）（４）から
四角形RODE=29/60△DAC　・・・（５）

（４）（５）から
29/15倍がでてきます。

証明なんか省いているけど
こんなんでもいいかな？

回答No.6

Tofu-Yo

すいません。No3の者ですが問題の読み違えたので回答は誤りです。
不具合で図が表示されなくて読み違いに気づきませんでした…
なのでNo3はしかとしてください。

回答No.5

debut

・三平方でＢＣ＝８
・△ＡＰＯ≡△ＡＲＯなので、ＡＤは∠Ａの二等分線
　二等分線の性質(AB:AC=BD:C D)でＢＤ：ＤＣ＝３：５、つまり
　ＢＤ＝３、Ｄ Ｃ ＝５
・△ＡＢＤにて三平方でＡＤ＝３√５
・△ＡＢＤ∽△ＡＤＥなので、辺の比ＡＢ：ＢＤ＝ＡＤ：ＤＥから
　６：３＝３√５：ＤＥ→ＤＥ＝(３√５)/２
　よって、△ＡＤＥの面積は、(3√5)×{(3√5)/2}×(1/2)=45/4
・ここで、円の半径をｒとすれば、四角形ＢＰＯ Ｑが正方形なので
　ＢＰ＝ＢＱ＝ｒ、ＡＰ＝６－ｒ＝ＡＲ、
　ＲＣ＝10ーＡＲ＝10－(６－ｒ)＝４＋ｒ＝Ｃ Ｑ
　ＢＣ ＝ＢＱ＋Ｃ Ｑ＝ｒ＋(４＋ｒ)＝８なので、解いてｒ＝２
　すると、ＡＲ＝ＡＰ＝４，Ｏ Ｒ＝２なので、△ＡＲＯの面積は４
　よって、四角形ＲＯ ＤＥの面積＝△ＡＤＥの面積－△ＡＲＯの面積
　から(45/4)－４＝29/4
・△ＡＤ Ｃ の面積は15(←５×６÷２)なので、△ＥＤ Ｃ の面積
　は△ＡＤ Ｃ ー△ＡＤ Ｅ→15－(45/4)から15/4

以上から、29/4は15/4の29/15倍。

他にも比だけでやることもできますが、説明が面倒なので簡単に。
円の半径、ＡＤの長さなどを求め
ＡＲ：ＲＥ：ＥＣ＝８：７：５、ＡＯ：Ｏ Ｄ＝２：１　がわかり、
そこから４つの三角形ＡＯＲ，ＲＯＤ，ＲＤＥ、ＥＤＣの面積比を
求めるというもの。

回答No.4

gohtraw

（１）まず、円の半径を求めます。△ＯＡＢ、ＯＢＣ、ＯＣＡはそれぞれＡＢ，ＢＣ、ＣＡを底辺、円の半径を高さとする三角形です。これより△ＡＢＣの面積を求めると
円の半径＊（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）／２
となり、これがＡＢ＊ＢＣ／２＝６＊８／２＝２４
と等しいので円の半径は２ｃｍです。
（２）三角形ＡＰＯについて、
上記よりＰＯ＝２ｃｍ
ＰＢ＝２ｃｍなのでＡＰ＝４ｃｍ
（３）△ＡＢＤは△ＡＰＯと相似なのでＢＤ＝ＡＢ／２＝３ｃｍであり、三平方の定理よりＡＤ＝３√５ｃｍです。
（４）△ＡＤＥは△ＡＢＤと相似（なぜなら内心の定義より∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥ）なのでＡＥ＝３√５／６＊３√５＝１５／２ｃｍ。
（５）ＤからＡＣに垂線を引いてＡＣとの交点をＳとすると△ＡＤＳと△ＡＤＢは合同なのでＡＳ＝６ｃｍ。よってＳＥ＝３／２ｃｍ。
（６）△ＤＳＥも△ＡＢＤと相似なのでＤＳ＝３ｃｍ
（７）以上よりＲＯＤＥの面積は台形ＲＯＤＳと△ＤＳＥの和と考えれば算出できるはずです。
（８）一方ＡＥ＝１５／２ｃｍなのでＥＣ＝５／２ｃｍ。ＥからＣＤに垂線を下ろしてＣＤとの交点をＴとすると△ＥＴＣは△ＡＢＣと相似なのでＥＴ＝ＡＢ＊ＥＣ／ＡＣ＝６＊５／２／１０＝３／２ｃｍ。これで△ＥＤＣの面積も求められます。

　内心の定義と三角形の相似、三平方の定理があれば解けます。相似のところなどは説明を若干省略していますので図を書きながら考えてみて下さい。

回答No.3

Tofu-Yo

これが中３の問題？？確かに知識としては十分？？？なのかな…う～ん難しい問題が出てますね。

解法のステップです。
（１）△EDCと△EDAの比を求める。
　１－１）△EDA≡△BDAを証明し、AE=AB=6を示す
　１－２）△EDC:△EDA=AE:CEより△EDCと△EDAの比が求まる。
（２）△EDAと△ROAの比を求める。
　２－１）△ABCの面積から内接円の半径（rとおく）を求める。
　２－２）四角形PBQOが正方形であることを証明し、PB=rを示す。
　２－３）APを求め、△BDA:△POAを求める。
　２－４）１－１と同様に△ROA≡△POAであるから、△EDA:△ROA=△BDA:△POA
　　　　より△EDAと△ROAの比が求まる。
（３）四角形RODEの面積と△EDCの比を求める。

解答そのものを書き込むスタンスをとっていませんので、このあたりでやめようと思うのですが…難しいですか？

回答No.2

japaneseda

5-√２/２

とか言う、意味不明な答えにたどり着いた。

答えは？？？何ですか？

補足

答えは、15/29倍なのですが。。。。