微分を利用した不等式の証明

質問

（１）　ｘlogx≧ｘ－１　（ｘ＞０）
（２）　2ｘ/π＜sinx＜ｘ　（０＜ｘ＜π/2）

上記2問なのですが

（１）は両辺の差をとり2回微分した後、単調増加であるから成立と解答しましたが、これは最小値が正数であるからと考えてよいのでしょうか。

（２）はアプローチの仕方がよくわかりません。どこから手を付ければよいのでしょうか。

回答お願いします。

回答No.1

aqfeplus · ベストアンサー

基本は両辺の差をとり、微分して、増減表を丁寧に書く、に尽きます。

（１）
あってますが、正しく表現しないと（”何が”単調増加なのかとか）、記述式では思わぬ減点となりますよ。
f(x)=xlogx-x+1
f'=（略）=logx
f''=1/x
なので、x>0の範囲でf'が単調増加。増減表書くと（増減表は略）、x=1でfが最小値をとり、
f(1)=0なので、f(x)≧0。

（２）冒頭に書いた基本通りです。
f(x)=sinx-(2/π)x
f'=cosx-2/π
f''= -sinx
0<x<π/2により、0<cosx<1、0<sinx<1だから、0<x<π/2の範囲で、f''<0。
f'(0)>0、f'(π/2)<0、f(0)=0、f(π/2)=0により、
増減表を書くと（増減表は略）、
（f'(α)=0を満たすαにて、fは最大値をとるけど、αは正直どうでもよくて、）
増減表によると、0<x<π/2の範囲でf>0。

g(x)=x-sinx
g'=1-cosx>0　（0<x<π/2の範囲で）
g(0)=0により、増減表を書くと、0<x<π/2の範囲でg>0。

お礼

ご回答ありがとうございました！

すごく丁寧でわかりやすいです！
基本に忠実に解いていこうと思います。

ありがとうございました!!