3の倍数である確率

質問

以下は同じ事柄を問題にしていますが、結果が違います。どちらも正しく思えるのですが、どちらが正しくて、どこが間違っていると思いますか？

問題1.
自然数の中から1つ数を選んでそれが3の倍数である確率は1/3。
理由:
自然数は [A]3の倍数 [B]3で割って余りが1 [C]3で割って余りが2 の3グル－プに分かれ、それぞれのグループ内の数字を+1すれば、他グループと同じになるため各グループの要素は同じ数だけある。よってAグループが選ばれる確率は1/3。

問題2.
箱の中に無限個の白黒2種類のボールが入っていて、白には3の倍数が、黒には3の倍数以外の番号がついている。また全てのボールには欠番、重複なく番号がついている。箱の中はこんな感じ。
黒1,黒2,白3,黒4,黒5,白6,・・・
箱から1個ボールを取り出した時、それが白である確率は1/2。
理由:
白黒のボールを増減させることなく、新たに別の番号を付ける。
黒1 → 1,　白3 → 1,
黒2 → 2,　白6 → 2,
黒4 → 3,　白9 → 3,
黒5 → 4,　白12 → 4,
: :
このように番号を付けると黒と白は同じ集合であることが分かる。そのため白である確率は1/2。

考えるヒントとなる発想や気づきだけでも構わないので、思いついた事を教えて下さい。

回答No.7

ddtddtddt

#6です。

＞・・・部分集合は無作為に抽出されることが必要で、・・・

　自分の意見はちょっと違うんですよね。前回の話の趣旨は、無限集合である自然数全体の集合Nは、すぐには扱いずらいので、Nを適当にモデル化する有限部分集合上で確率密度関数の積分結果を予想できないか？、というものです。
　そうするとモデルとする有限部分集合Aは、少なくとも次の3つの条件を満たす必要があると思います。

　　1) Nは自然数の連番集合なので、Aは連番集合．
　　2) Nは、3を法とした個数の等しい3つの同値類S(0)，S(1) ，S(2)に分割されるので、Aはそれらを同数だけ含む．
　　3) Aは、それを考えるN上の場所によらず、同じ結果を与える．

　1)～3)を満たす有限部分集合は、

　　・個数3以上の個数が3の倍数となる、自然数の連番集合A．

という事になると思います。代表は、{1，2，3，4，5，6，・・・，300}です。前回は {1，2，3，・・・，299}としましたが、間違いでした(^^;)。この考えに従うと、
　　{1，2，3，・・・,100} ：S(0)，S(1) ，S(2)が同数ないのでNG．
　　{101，102，・・・,200} ：S(0)，S(1) ，S(2)が同数ないのでNG．
　　{1，2，3，6} ：連番でないのでNG．
　　{4， 5，9，12} ：連番でないのでNG．
　　{7，8，15，18} ：連番でないのでNG．

となります。
　これらは、100，200，6、12，18以上の3の倍数を3nとした時、A(n)＝{1，2，3，4，5，6，・・・，3n}の中に埋め込めるので、上記の集合はそこから1)～3)の条件を満たさないように「作為的に」抽出されたもので、そこで試行を行っても逆に「N上の無作為試行」に相当しないので駄目だ、というのが自分の意見です。

　最後にA(n)＝{1，2，3，4，5，6，・・・，3n}において、3の倍数に当たる確率は1/3あり、

　　lim(n→∞) A(n)＝N

と思えるので、これはN全体での性質ではないかと・・・。

　自分には、これぐらいしか考え付けません(^^;)。

お礼

ありがとうございます。
・有限での考察は自然数全体Nのモデル化が前提
・Nのモデル化では最低限3つの条件が必要
　(1)連番
　(2)3を法とした同値類がNと同数(3つ)ある
　(3)N上の場所によらず同じ結果
　（モデル化の条件を満たす有限集合ならどれも結果を変えないという意味？）
・A(n)＝{1，2，3，4，5，6，・・・，3n}はモデル化条件に合致し確率は1/3
とのご指摘ですね。
詳しい解説をありがとうございます。大変参考になりました。
確率1/3の「証明」をネット上で見たことがあって、そこでは 1-nの範囲の確率をP(n)としてlim(n→∞) P(n)＝1/3 としていて、この証明には違和感を持っていました。「自然数全体Nのモデル化」という視点は内容が面白く、納得できました。

回答No.6

ddtddtddt

前の質問で［A案］に賛成したものです。

　まず正規分布の例をあげます。正規分布は、場合の数が無限にある時の典型的なツールです（添付図）。正規分布は、ある値の測定などを行ったときに、どのように測定値がバラツクかを表す理論モデルです。図の横軸は現れ得る測定値で、範囲は－∞～＋∞になります。縦軸の意味としては測定値の出現頻度と考えてOKです。測定値はバラツキますが、測定値の平均の出現頻度が最も大きいので、それを真値と考えて良いだろうという一般論の根拠になっているモデルです。

　ところで測定した時、ある値x＝x0にまぐれ当たりする（ヒットする）確率を考えてみます。xは－∞＜x＜＋∞と無限個ありますから、x＝x0というたった1個の値に当たる確率は、1/∞＝0です（← これは数学的に許される）。しかしx0を含むある区間x1≦x≦x2（x1≦x0≦x2，x1≠x2）のどれかの値に当たる確率は0ではないはずです。もし0なら、いかなる測定値も測定できないという事になりますから。そこで確率密度という考えが出てきます。図の縦軸が出現頻度ではなく「確率密度」となっているのは、そういう理由です。従って青ラインで描いた正規分布のグラフの面積は、－∞～＋∞の範囲で積分すると1になります。

　正規分布を少し観察しましょう。区間x1≦x≦x2（x1≠x2）の中には無限個の値が含まれます。確率密度は面積をとれば確率です。よって区間x1≦x≦x2上の確率密度グラフの面積は、その区間含まれる無限個の値のどれかに測定値がヒットする確率です。この確率は区間幅 x2－x1が小さくなるほど0に近づきます。
　この意味は2つの極端な例を考えれば、なんとなくわかります。まず区間幅を－∞＜x＜＋∞とすれば、必ずなんらかの値をとる測定値のケースを全て尽くので確率1です。区間幅を小さくすればハズレが多くなるので、確率は減少します。その最終形態（？）としてx1＝x2（＝x0）の場合を考えれば、1/∞＝0で確率0です。これが現実の正しい反映ではないかというのが、確率密度の考えです。

　あなたの例題に戻って、特定の3の倍数、例えば9にヒットする確率を考えます。自然数は無限個ありますから確率はさっきと同じで、1/∞＝0です。ここで無限個ある3の倍数、3，6，9，・・・のどれかに当たる確率は？、と考えるわけです。その確率が0なら3の倍数にはヒットできないので、自然数の中に3の倍数がない事になります。不合理です。つまり場合の数として3の倍数の個数を∞'として、∞'/∞≠0と考えざる得ないわけですが、他の皆さんも書かれているように、無限／無限の計算は数学的には許可できません。
　ところでさっきの区間x1≦x≦x2の中にも無限個の値がありました。可能な測定値の全個数は－∞＜x＜＋∞なので、当然無限個です。測定値が区間x1≦x≦x2のどれかに当たる確率というのは、結局∞'/∞に対応するものだというイメージはわきませんか？(^^;)。確率密度のモデルは、∞'/∞の計算を妥当に回避する手段だと自分は思います。つまり場合の数が無限の場合、適切な確率密度のモデルを建てる必要がある・・・。
　まぁ～、添付図の横軸を数直線にとりかえて（既にそうですが(^^;)）、自然数の数直線上にわかりやすく確率密度関数を描ければよかったのですが、その場合、正規分布のような連続型の確率密度関数にならないので、自分には無理です。

　でも一般的な指導原理（？）ならちょっと言えます。それは無限集合は必ず有限部分集合を含むという事実です。無限集合の中から有限集合を取り出した時、そこで起こる全ての事は現実と一致しなければなりません。これは無限集合論の暗黙の縛りです。今の場合なら自然数を300個含む数直線上の区間として有限集合を取り出します。例えば{100，101，102，103，・・・，299}。これに3の倍数には赤、それ以外には青のボールを割り当てます。自然数の数直線上ですから、規則正しく{青，青，赤，青，青，赤，・・・，青}とボールが並ぶはずです
　そこから赤のボールを取り出せる確率は、明らかに1/3。数直線上のどの300個の有限集合を取り出しても、青，青，赤，青，青，赤，・・・の順序が循環するだけで同じ。かつ、無限集合の中から有限集合を取り出した時、そこで起こる全ての事は現実と一致しなければならないので、数直線上で3の倍数にヒットする確率は1/3。

　・・・なのかな？(^^;)。

　ところでコロモゴロフの確率論に詳しい方がいらっしゃったら・・・、そこではこういうのを、どういう風に扱ってるんですか？。

お礼

ありがとうございます。
・母数が無限になる場合の確率算出にはグラフ(確率密度)を使う方法がある。しかし今回はグラフ化は無理そう。
・有限個の部分集合で確率を考える方法があるかも。
とのご指摘ですね。
無限の場合の確率ってどう定義されるのだろうと疑問だったのですが、確率密度って考えがあるのですね。面白いです。適応可能なケースとそうでないケースがありそうですね。
また、有限個の部分集合で考える方法は別の質問でも回答があったのですが、部分集合は無作為に抽出されることが必要で、それは出来ないのかな、と思いました。
{1，2，3，・・・,100}
{101，102，・・・,200}
：
のような連続する自然数の部分集合なら確率1/3ですが、
{1，2，3，6}
{4， 5，9，12}
{7，8，15，18}
：
のような部分集合にすれば確率は1/2になりますから。
どちらも作為的に部分集合を作っているので元の無限集合の確率とは
言い難い気がしました。

無限の確率をどう定義するのか。グラフ（確率密度）を使う以外の
別の方法があれば面白いです。

回答No.5

69015802

問題２についてですが
例えば１を無限に足していくと答えは無限大です。２を無限に足していっても答えは無限大です。ということは１＝２です。というのと同じですよね。無限大は数値化できない大きな数字ということで具体的な数値ではありません。

お礼

ありがとうございます。
・無限大は数値化できない（演算や安易な比較はできない）
とのご指摘ですね。
無限に関して一見おかしな問題が生じる原因がそこですね。

回答No.4

kon555

>> 理由の説明に間違いが隠れていることもあるかな
　そういう方向で言うなら、数学的な知識というよりパラドックス関係の勘ですが『白黒のボールを増減させることなく〜黒と白は同じ集合であることが分かる』『そのため白である確率は1/2』あたりは怪しいですね。
　先の回答でも述べた通り、無限というのは特殊な概念ですから、暗黙的に有限の数を想定した理屈をもって来ると矛盾します。

　感覚的には『無限』という母数に対して、ナンバリングが限りなく振れるという理由で『同じ集合』とみなしていいのか？　また仮にそうみなすとして、そこから確率を算出していいのか？　というあたりに誤謬がある気がしますね。

お礼

ありがとうございます。
No2では色々な意見を聞きたくて間違い探しの方向でコメントさせて
いただいたのですが、それに付き合っていただいて感謝です。
・有限の理屈が無限には通じない（パラドックスを生じる）
・「同じ集合」である、をどう考えるべきか
・「同じ集合」どうしの確率をどう考えるべきか
とのご指摘ですね。
どれも面白い問題です。

回答No.3

asciiz

問題1・2共に問題があると思います。
「無限」を演算に使ってはいけません。
「無限」は状態であって、具体的な数値ではありませんから。
「無限」を2倍してもやはり「無限」なのです。
「無限+無限＝2無限」にはならないのです。

問題1では、黒の無限が白の無限の2倍ある、という前提にしてしまっていますが、上記に書いた通り、無限を計算してはいけません。
問題1のように書いたなら、黒も白も「無限個」あります。

問題2では、その「無限×2/3」と「無限÷3」を比較していますが、それはどちらもやはり「無限」です。
どちらも同じだから確率1/2…と考えそうになりますが、「ある無限と別の無限が等しい」という事も言えないため、やはり間違っています。

--

「黒2白1の玉から毎回1個を取り出し、戻す」ことを「無限に」繰り返したとき、白の確率が1/3に収束していく、というのが確率です。

「無限『個』」を考えてしまった時点で、落とし穴にはまってしまうんだと思います。

お礼

ありがとうございます。
・無限を演算に使ってはいけない
・無限と別の無限が等しいとも言えない
とのご指摘ですね。
ただ、無限を比較（「同じ数だけある」「同じ集合」などの言葉）はしていますが、演算はしていないようだ、というのが私の感想です。無限が等しいとは言えないという点がポイントですね。
無限『個』」を考えてしまったことが問題だという点はその通りですね。

回答No.2

kon555

まあ、無限のパラドックスの一形態ですね。2はよくある無限ホテルなどの変形に思えます。
　無限のパラドックスについてはこちらをご参考下さい。
https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=72162?site=nli

　正直なところ、どちらが誤っているとも言えない、定義不能なタイプの問答だと思います。
　有限の数を前提としている確率論の母数を『無限』にしている時点で、論理的に破綻するのはある意味当たり前とも言えるかもしれません。

お礼

ありがとうござます。
資料を見ました。参考になりました。
・無限にはパラドックスが潜む
・確率は基本的に母数が有限を前提とする
・正誤の判定は不可能かも
とのご指摘ですね。資料の中に出てきたパラドックス「ヒルベルトの無限ホテル」は「ホテルが満室」と仮定した事が間違っている（満室にはできない）という気がしました。
今回の問題も、パラドックスに見えて実は理由の説明に間違いが隠れていることもあるかな、と思い、それを明らかにできれば面白いです。

回答No.1

hiro_1116

問題2は、白黒のボールが同数ではないですよね

お礼

ありがとうございます。
私も感覚では白と黒は同数でない気もしますが、同じだとする説明に間違いを見つけられないんです。