納得できない確率の問題

質問

もしかしたらこの質問、著作権の侵害になるのかもしれませんが…

２年ほど前に見た、「枕頭問題集」というルイス・キャロルが書いた数学の問題集みたいな本に次のような問題が載っていました。

袋の中にカウンターが二個入っており、それぞれが黒か白のいずれかであることしか知られていない。袋からそれらを取り出さずに、それらの色を確かめよ。

その本に載っていた回答が次のようなものでした。

われわれが知っているのは、もし袋の中に三個のカウンターが入っていて、二個が黒、一個が白であるならば、黒一個を取り出す確率が2/3となるということであり、そして、他のいかなる状態もこの確率を与えないという事である。
いま与えられた袋の中に(1)黒黒、(2)黒白、(3)白白が入っている確率はそれぞれ1/4、1/2、1/4である。
黒のカウンター一個を加える。
すると、(1)黒黒黒、(2)黒白黒、(3)白白黒が入っている確率は前と同じように、1/4、1/2、1/4である。
したがって、いま黒一個を取り出す確率＝1/4×1+1/2×2/3+1/4×1/3＝2/3である。
したがって、いま袋の中に黒黒白が入っている。(なぜなら、ほかのいかなる状態もこの確率を与えないからである)。
したがって、黒のカウンターが加えられる前、袋の中には黒白、すなわち黒のカウンター一個と白一個が入っていた。

この回答を見ると、黒のカウンターを加える前、すなわち問題が提示された時には、黒黒、白白の確率はあります。
しかし、黒のカウンターを入れるだけでその確率が消えてしまっているように思えます。

なぜこんなことが起きるのでしょうか。
この回答にはどこかに誤りがあるのでしょうか？
自分でも考えてみたのですがわかりません。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

＞(1)黒黒黒、(2)黒白黒、(3)白白黒が入っている確率は前と同じように、1/4、1/2、1/4である。
したがって、いま黒一個を取り出す確率＝1/4×1+1/2×2/3+1/4×1/3＝2/3である。

ここで、３つの事象が１つにまとめられています。
つまり、黒を取り出す確率が、３つの事象について平均化された確率を求めています。

＞したがって、いま袋の中に黒黒白が入っている。

これは、３つの事象が平均化された、３つの事象を１つにまとめた代表の状態を表しているだけです。

この平均化したものを、ふたたび特定の場合の状態として決め付けて、解答のように結論付けることはできません。

この理屈で行くと、３人がじゃんけんをすると、
グーチョキパーの出る確率は同じなので、
平均を取ると、グー１人、チョキ１人、パー１人になって、
毎回のじゃんけんは、かならず、
グーとチョキとパーの組合せしかないという結論になります。

しかし、平均はあくまで平均なので、
個別の１状態として、決め付けることはできません。

お礼

お礼が遅れてすいません。

恥ずかしながら、平均化された確率というものがあることをを初めて知りました。
正直言って完全に理解したとは言いがたいのですが、なんとなくはわかりました。
じゃんけんの例はわかりやすかったです。

２年間の謎にやっとピリオドが…
ありがとうございました。

回答No.2

noname#43437

ざっくり、思考実験・・

袋に入っているカウンターは取り出さない

黒のカウンターをいれる

入れたカウンターを取り出す
（最初から入っていたカウンターには手を触れない）

よって、あとからカウンターを入れたことは、最初から入っているカウンターとは、完全に別の事象である。

回答例の間違いは、
カウンターを取り出すとき、最初から入っているカウンターも取り出す可能性に含めることですね。これは、前提条件に抵触します。。

お礼

まず、ご回答ありがとうございます。
あとお礼が遅れてすいません。
次に

＞回答例の間違いは、
カウンターを取り出すとき、最初から入っているカウンターも取り出す可能性に含めることですね。これは、前提条件に抵触します。。

この部分がよくわかりません。
回答例にはカウンターを取り出すとは書いていないので、前提条件には触れないような気がするのですが…

私の理解が及ばず申し訳ありません。