積分

質問

「質問」
まず添付したファイルの画像を見てほしいです。
x=0と代入して、左辺のf(t)dtが消されているところが分かりません。
この点について教えてほしいです

「質問に至った詳しい経緯」
左辺のf(t)dtが消されるところは理解して読み進めることが出来ました。
しかし突如としてx=0として、左辺のf(t)dtが消されたところから
まるっきり理解できませんでした。

参考書にはf(t)dtが消された理由について特別な説明はありませんでした。

そこから考えるに、恐らくですが事前に当然持っておくべき知識を私が持っていないのだと思います。しかしそれが何なのか私にはよく分かりません。

外国語の学習をしている際に知らない単語があれば、その単語を検索すれば
読解を進めることが出来ます。しかし今の私には何が足りていないのが
よく分からない状態です。

「質問のまとめ」
x=0と代入して、左辺のf(t)dtが消されているところが分かりません。
この点についての説明、もしくはこの式を理解する為に
必要そうな事前知識と思しきキーワードなどがあれば教えて欲しいです。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

テキスト文書なので，定積分を∫<a→b>f(t)dtで書くことにします。（aが下端でbが上端，つまりaからbまでのf(t)の定積分）

f(x)を求める問題で，同じ関数が変数を変えて被積分関数f(t)となっている構造ですね。
いかにも邪魔になりそうな∫<0→x>f(t)dtなのですが，これもf(x)と共に，一応xの関数です。
でもやっぱり邪魔です。

そこで，上端と下端を一致させると，つまり上端も0にしてしまうと定積分の値は0になって消えてしまいます。
※これがこれがここのキモですね。ご質問のなぜ？つまりx=0を代入したくなった動機です。

具体的には
条件式にx=0を代入すると
∫<0→0>f(t)dt=0
だから
∫<0→0>f(t)dt-f(0)=0^3-0^2-4
0-f(0)=-4
f(0)=4
となって，f(x)=ax^2+bx+4となります。
すると元の条件式は
∫<0→x>f(t)dt-(ax^2+bx+4)=x^3-x^2-4
となります。両辺をxで微分すると
{∫<0→x>f(t)dt}'=f(x)
ですから
f(x)-(2ax+b)=3x^2-2x
f(x)=3x^2+(2a-2)x+b
従って
ax^2+bx+4=3x^2+(2a-2)x+b
がxの恒等式となるのでここからa,b,cが求まるという流れです。

回答No.1

sknbsknb2

f(t)が2次元で表せる関数であれば、f(t)を積分するというのは、0からxの範囲でf(t)の描く曲線とt軸(x軸相当)によって閉じられた部分の面積を求めることと同じです。

x=0ということは、t軸で0から0までの範囲の面積ということですが、tの長さが0なので面積は当然0です。