マクロ経済学についての質問

質問

ある企業が資本だけを用いて生産を行っている。企業の生産関数が
F(K)=K½
となる場合の1.2の解き方を教えてください。

問1、利子率を2パーセント、資本減耗率が8パーセントのとき、第2期の最適資本量の求め方。

問2、利子率が3パーセント、資本減耗率が５パーセントのとき、第2期の売り上げのみ税率20パーセントの税が課されたとする。このとき、第2期の最適資本量の求め方。

是非ともご教授お願いします🙏

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

第2期の最適資本量という意味がよくわからない。「第2期に利潤が最大になるように第1期の資本量を求めよ」という意味なら、一期の資本をKと書くと、2期には(1-δ)Kとなるので、第2期の利潤をΠ(2)と書くと、
Π(2)=F((1-δ)K) - (r+δ)(1-δ)K
となるので、1階の(2期）の利潤最大化条件はKで微分して0と０おくと
0=dΠ(2)/dK=(1-δ)F'((1-δ)K)- (r+δ)(1-δ)
よって
F’((1-δ)K) = r+δ
δ=0.08、r=0.02を代入して解くと
0.92K=25
となる。2期目の資本量が最適な値である25（前に求めた値）になるように1期目の資本Ｋを選択するということになるでしょう。つまり、1期目の資本量Ｋ＝25/0.92=27.17...と最適資本量よりも大きい値を選択するということになる。第2期の最適資本量を求めよということであれば、あくまでも回答１で求めた25というのが答えになるので、回答1と変わらない。
(2)についても同様。

補足

なるほど…！
ありがとうございます🙇‍♀️
そう考えると確かに何故第2期だけを求める問題なのかが疑問に残り、違和感がありますね。
この問題の作成者に質問してみたいと思います！
何度もご回答ありがとうございます😭

回答No.1

statecollege

AIによる回答があるでしょう。わたしの回答もほぼ同じです。
いま
Y=F(K)=K^1/2
とすると、(1)については利潤Πは
Π＝Y - rK - δK＝F(K) - (r+δ)K
と書ける。よって最適化（利潤最大化）の1階の条件は
0=dΠ/dL=F'(K) - (r+δ)
ところが、F'(K)=(1/2)K^(-1/2), r=0.02, δ=0.08を代入すると
0 =(1/2)K^(-1/2) - 0.1
よって　これをKについて解くと
K=25
となる。これが最適（利潤最大化）資本量だ。
同様に、(2)については
Π＝Y - (r+δ)K - tY = (1-t)Y - (r+δ)K = (1-t)F(K) - (r+δ)
最大化の1階条件は
0= dΠ/dK＝(1-t)(1/2)K^(-1/2) - (r+δ）
よって
0=(1-0.2)(1/2)K^(-1/2) - (0.03+0.05) = 0.4K^(-1/2) - 0.08
解くと
K=16
を得る(確かめよ）。
ただし、質問の「第2期」というのがよくわからない。t=1期の期首にこの企業が利子率ｒで資金を借り、Ｋ単位の資本を購入したとすると、上の式が成り立つ。なぜ「第2期」の最適資本量とされているのか？もう少し問題の設定を説明してほしいものだ！

補足

こんばんは。
ありがとうございます🙇‍♀️
問題には第2期としか書かれておらず、これ以上の条件はありませんでした。そのため、問題の中に第1期の最適資本量を求めよや利潤を求めよといったものはなかったです。
丁寧かつ簡潔な解説のおかげで解く手順はわかったのですが、一つ質問があります。
文末のものに関してなのですが、このご教授下さった式はt=1期の最適資本量を求めるものなのでしょうか。
もしそうであればここから第2期の最適な資本量を、求めることは可能なのでしょうか。それとも何か条件がないと求めることは出来ないのでしょうか。
知識が浅はかである故、支離滅裂な質問になってしまっていることお許し下さい🙇🏻‍♂️
引き続きご教授いただけると幸いです。