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ミクロ経済学 費用最小化問題について
２つの生産要素,Ｌ（労働）とＫ（資本）とを用いて、財Ｘを生産している完全競争企業があるとする。 この企業の生産関数は、 X=4L^1/2 K^1/2 で与えられていたとする。 (1) Lの価格は１、Ｋの価格は４で、生産量は１０であるとする。この時、費用を最小にするＬとＫの 組み合わせはいくらになるか、それぞれ計算せよ。 (2) 上で求めた値を用いて、企業の最小費用がいくらになるか計算せよ。 (1)がよくわかりません。費用最小化条件の技術的限界代替率＝要素価格比というのが関連してる と思うのですが、解き方がわかりません。 どなたかご教授をお願いいたします。
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「技術的限界代替率=要素価格比」の使い方は以下の通り。 労働の資本に対する技術的限界代替率=K/L。 これが要素価格比に等しいという方程式が1つ。 生産量10だから10=4(LK)^(1/2)という方程式が1つ。 この2本の方程式を解く。
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＃１の訂正です。最後の行 >なので、ここで L は最小値をとる。 を なので、ここで C は最小値をとる。 に訂正します。
お礼
丁寧な解説ありがとうございました。 おかげで答えと解き方を理解することができました。 忙しいところ本当にありがとうございました！
10 = 4 L^(1/2) K^(1/2) (1) C = L + 4 K (2) のとき、C を最小にする L, K を求めよ、という問題であるとします（私は素人なので確信はありません）。 (1)を２乗して整理すると、 25 = 4 L K、 K = 25/ (4 L)。 (3) これを(2)に代入すると C = L + 25 / L。 極値では、導関数 C' = 1 - 25 / L^2 = 0。 よって L = ±5 だが、正の解だけとって L = 5。 これと(3)より K = 5/4。 このとき、２階導関数 C'' = 50 / L^3 > 0 なので、ここで L は最小値をとる。
お礼
なんとか答えを導き出すことができました！ 大変忙しいところ、私のために時間を割いていただいて 本当にありがとうございました。