高校数学です

質問

画像の式を解きたいです。θが鋭角で4sinθ＋cosθ＝√3のとき、sinθ＋cosθと、sin^3θ＋cos^3θを求めるものです。自分でやってみたのですが、違いました。よろしくお願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

回答No.2

f272 · ベストアンサー

s=sinθ、c=cosθと書く
4s+c=√3
c=√3-4s
c^2=3-8√3s+16s^2=1-s^2
17s^2-8√3s+2=0
s=(1/17)(4√3-√14)
c=√3-4s=(1/17)(√3+4√14)
s+c=(1/17)(5√3+4√14)
sc=(1/289)(-44+15√42)
s^3+c^3=(s+c)(s^2+sc+c^2)=(s+c)(1-sc)
=(1/17)(5√3+4√14)*(1/289)(-44+15√42)
=(9/4913)(115√3+86√14)
もしsinθ＋cosθ＝√3＋1／2になるのなら問題が間違っています。

補足

本当に申し訳ないです。4sinθ＋cosθではなく、4sinθcosθでした…また別の場所で同じ質問します！すみません…

回答No.1

okwgomi

久しぶりにこういう計算するので自信ないです
4sinθ＋cosθ＝√３
sinθ＋cosθ/4=√3/4
ここからθ打つの面倒だから短縮
sin=√3/4-cos/4＝(√3-cos)/4
sinθ＋cosθ/4=√3/4
(sin+cos/4)^2=3/16
sin^2+(4sincos)/2+cos^2=3/16
ピタゴラスの定理
sin^2+cos^2=1より
(4sincos)/2=3/16-1
sincos=<2(3/16-1)>/4=(3/16-1)/2
=3/32-1/2=3/32-16/32
=-13/32

「sinθ＋cosθ」
(sin＋cos)^2
=sin^2+2sincos+cos^2
=1+2sincos
sincos=-13/32より
1+2(-13/32)
=1-13/16=16/16-13/16=3/16
つまり
(sinθ＋cosθ)^2＝3/16
sinθ＋cosθ＝√3/4

こういう計算普段からしないから間違っていたらごめんね
もう一個は時間あれば答えますが
自力でトライを

補足

すみません…答えも書いておけば良かったです🙇‍♂️sinθ＋cosθ＝√3＋1／2らしいです。でも丁寧な回答ありがとうございます✨️