高校数学です。 「△ABCにおいて、～」

質問

高校数学です。
「△ABCにおいて、BC = a, CA = b, AB = c, ∠ABC = θ, ∠ACB = φ, ただし φ>θ とする。
このとき、以下の文章の（あ）～（さ）にあてはまる式や値を答えよ。
なお、あてはまる式や値は最後尾の選択肢から選べ。

a = b (あ) + c (い) と a / (う) = b / sinθ= c / sinφ より、(え) は θ, φ の正弦および余弦を用いて表すことができて、(お) となる。
次に、∠BCD = θ となるように点DをAB上にとり、AD = d とおく。
このとき、( c - d ) (か) = a / 2 が成立する。
d について解くと、d = c - a / 2 (き) となる。
また、sin (φ-θ) = { d / ( c - d ) } (け) であるから、これに上の d を代入して計算すると、sin (φ-θ) = 2 (こ) - (さ) となる。
そこで前半で得られた結果を使うと、sin (φ-θ) もやはり θ, φ の正弦および余弦を用いて表すことができて sinφcosθ - cosφ sinθ となる。
【選択肢】
・sinθ
・cosθ
・sinφ
・cosφ
・sin ( θ+φ )
・sinθcosφ + cosθsinφ
・cosθsinφ
・sinθsinφ
・sinθcosφ
・cosθcosφ 」

この問題がわかりません。
どなたか、解と解法を教えていただけないでしょうか。

なお、当方、数IAの知識までしかない状況です。

よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

「△ABCにおいて、BC = a, CA = b, AB = c, ∠ABC = θ, ∠ACB = φ, ただし φ>θ とする。
このとき、以下の文章の（あ）～（さ）にあてはまる式や値を答えよ。
なお、あてはまる式や値は最後尾の選択肢から選べ。

>a = b (あ) + c (い)…（１） と a / (う) = b / sinθ= c / sinφ　……（２）より、
>(え) は θ, φ の正弦および余弦を用いて表すことができて、(お) となる。
公式にあります。
ａ= b cosＣ+ c cosＢ ＝b (cosφ) + c (cosθ)　……（あ）（い）
sinＡ＝sin (π－(θ+φ))＝ sin ( θ+φ )……（う）
（え）sin ( θ+φ )　（お）sinθcosφ + cosθsinφ
（１）（２）より、式変形していくといいです。
（２）から、
sin ( θ+φ )＝(a/b)sinθ　……（３）
sin ( θ+φ )＝(a/c)sinφ　……（４）
ｂsinφ＝ｃsinθ　……（５）
と（１）をどこかに使います。

>次に、∠BCD = θ となるように点DをAB上にとり、AD = d とおく。
>このとき、( c - d ) (か) = a / 2 が成立する。
（か）cosθ
△ＤＢＣがＤＢ＝ＤＣ＝ｃ－ｄの二等辺三角形になる。
ＤからＢＣにおろした垂線の足をＨとすると、ＤＨはＢＣを二等分するから、
ＢＨ＝（ｃ－ｄ）cosθ＝a/2

>d について解くと、d = c - a / 2 (き) となる。
また、sin (φ-θ) = { d / ( c - d ) } (け) であるから、これに上の d を代入して計算すると、>sin (φ-θ) = 2 (こ) - (さ) となる。
（き）cosθ　（け）sin ( θ+φ )　（こ）cosθsinφ　（さ）sin ( θ+φ )
正弦定理より、ｄ／sin ( θ+φ )＝（ｃ－ｄ）／sin (φ-θ)　を式変形していく。

>そこで前半で得られた結果を使うと、sin (φ-θ) もやはり θ, φ の正弦および余弦を用いて表すこと>ができて sinφcosθ - cosφ sinθ となる。

実際に計算して答えが合うかどうか確認してみて下さい。

お礼

答えが合いました！
（途中、「式変形」がうまくできず、苦労しましたが、できてみればなんてこはないものだったんですね。）

ありがとうございました。
助かりました！
（お礼が遅くなり、すみません。）

回答No.2

ferien

訂正があります。済みません。
>正弦定理より、ｄ／sin ( θ+φ )＝（ｃ－ｄ）／sin (φ-θ)　を式変形していく。

△ＡＣＤで正弦定理より、ｄ／sin (φ-θ)＝（ｃ－ｄ）／sin ( θ+φ )　を式変形していく。

です。