数B 漸化式から一般項を求める問題について

質問

a[1]=3 a[n+1]=1/2a[n]+1 この条件によって求められる数列a[n]の一般項を求めていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

kiha181-tubasa

数学Ｂの典型的な問題としてとらえて，漸化式は
a[1]=3, a[n+1]=(1/2)a[n]+1　（a[n]の1/2倍に1を加えた）
と把握して質問に回答します。

a[n+1]=(1/2)a[n]+1
を
a[n+1]-2=(1/2)(a[n]-2)　……（鍵）
と変形します，このように変形するとこのタイプの漸化式は解けます。
（自分はこの形を「平行移動」と名付けています。この形を見つける方法は後述します）

a[n+1]-2=(1/2)(a[n]-2)
において
a[n]-2=b[n]
とおきますと
b[n+1]=(1/2)b[n], b[1]=a[1]-2=1
となり，数列{b[n]}は初項が１で公比が1/2の等比数列になります。
従って
b[n]=1*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-1)
a[n]-2=(1/2)^(n-1)
a[n]=(1/2)^(n-1)+2　……答

※　さて（鍵）への変形ですが
a[n+1]=k*a[n]+j（k,jは定数)
が次の形に変形されたとします
a[n+1]-f=k(a[n]-f)　(fは定数)
元に戻して行くと
a[n+1]=ka[n]-kf+f　(fは定数)
-kf+f=j
となるfはすぐにわかりますから（鍵）への変形は容易です。ご質問の問いを使って
a[n+1]-2=(1/2)(a[n]-2)　……（鍵）
への変形を見てみましょう
a[n+1]-f=(1/2)(a[n]-f)
a[n+1]-f=(1/2)a[n]-(1/2)f+f
a[n+1]-f=(1/2)a[n]+(1/2)f
元の漸化式と比較して
(1/2)f=1
f=2
これで（鍵）への変形が終わりましたね。

※※　なお，参考書やハウツー的には
a[n+1]とa[n]をxとおいて１次方程式を作り
x=(1/2)x+1
をとけば上記の f が求まると書かれていますが，その根拠は上記に書いたことからわかります。
でもハウツーでｆを求めても「あれ？足すのだったか引くのだったか？？」と迷ったり間違ったりするよりは，上のようにキチンを書く方が安全安心ですね。
（なお，このｆを求める過程は答案には記す必要はないと思います。すぐに（鍵）を書いてよいでしょう）

回答No.1

tootattatato

a[n+1]=(1/2)a[n]+1

ということで良いのでしょうか？　

それとも、a[n]は1/2の分母に来るのでしょうか？