微分方程式の問題

質問

x(t)とy(t)において、
初期条件x(0)=1かつy(0)=0
となっており、
dx/dt=x+2y　かつ　dy/dt=5x+4y
を満たす。
x(t)とy(t)を求めて下さい。
解けません・・・。

回答No.2

info22_

dx/dt=x+2y ...(1)
dy/dt=5x+4y...(2)

(1)より 2y=dx/dt-x ...(3)
(2)より dy/dt=5x+2(dx/dt-x)=2dx/dt+3x ...(4)
(1)をtで微分
d2x/dt2=dx/dt+2dy/dt ...(5)
(4)を代入
d2x/dt2=5dx/dt+6x
d2x/dt2-5dx/dt-6x=0 ...(6)
特性方程式 s^2-5s-6=(s-6)(s+1)=0 ∴s=6,-1 ...(7)
x(t)=C1e^(-t)+C2e^(6t) ...(8)
(C1,C2は任意定数)

(8)を(3)に代入
2y=-2C1e^(-t) +5C2e^(6t)
y(t)=-C1e^(-t) +(5/2)C2e^(6t) ...(9)

(8),(9)に初期条件を代入して
C1+C2=1, -C1+(5/2)C2=0 ...(10)
これを解いて
C1=5/7, C2=2/7　...(11)

(11)を(8),(9)に代入して
x(t)=(5/7)e^(-t) +(2/7)e^(6t) ...(答え)
y(t)=-(5/7)e^(-t) +(5/7)e^(6t) ...(答え)

回答No.1

ask-it-aurora

答えは次の通り．
x(t) = (5exp(-t) + 2exp(6t))/7
y(t) = (-5exp(-t) + 5exp(6t))/7

これは微分方程式と言うよりも線形代数の対角化の問題です．基底をうまく取り替えれば連立方程式が分離できるのがミソです．

解法の概略だけ書いておきます．
r(t) := T(x(t), y(t)) (転置)とおき，係数行列をAとおけば元の微分方程式は
dr/dt = Ar
を初期条件r(0) = T(1, 0)について解くことと同じです．係数行列Aの固有値は-1と6で
P = ((-1, 2), (1, 5)) (左上，右上，左下，右下の順)
とおけばP^(-1)AP = ((-1, 0), (0, 6))と対角化できます．指数関数行列について既に知っていれば
r(t) = exp(At)r(0)
を計算して終わりです．もし知らないのであればs(t) = Pr(t)と基底を取り替えるとふたつの独立な微分方程式と初期条件が出てくるので，それを解いた後r(t) = P^(-1)s(t)とすれば解を得ます．