高校数学(組み合わせ)

質問

９人を、５人、２人、２人の３組に分けるとき何通りの分け方があるかという問題ですが、9C2・7C2／２！が答えになるのですが、５人を計算に入れないのはなぜですか？わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

vgemash

この問題では、9人を5人、2人、2人の3つのグループに分けることを求められています。しかし、5人のグループを特別扱いする必要はありません。なぜなら、最終的な結果は5人のグループを選ぶ必要がなく、彼らがどのグループに所属するかに関係なく同じ結果が得られるからです。

したがって、まず最初に2人のグループを選ぶ方法は、9人から2人を選ぶ組み合わせの数、つまり9C2通りです。次に残りの7人から2人を選ぶ方法は、7人から2人を選ぶ組み合わせの数、つまり7C2通りです。ただし、2人のグループは同じように扱われるため、この方法は2で割る必要があります。つまり、最終的な答えは、

9C2・7C2／２！ = 36, 036

となります。

回答No.4

nihonsumire

9人のうち、4ひと選べば、残り5人は自動的に決まってしまうからです。5人を、2人」、１人選べ組み合わせを考えてみると分かります。

回答No.3

totokromo

この問題は、まず5人のグループを作り、残った4人を2人ずつのグループに分ける、という手順で考えることができます。

5人のグループを作る方法は、9人の中から5人を選ぶことに対応します。この選び方の組み合わせの数は、「9C5」と書きます。
残った4人を2人ずつのグループに分ける場合、まず4人から2人を選んで1つめのグループを作り、残りの2人を2つめのグループに割り当てます。2人から2人の選び方は、「4C2」と書きます。
しかし、この手順だと、5人のグループと2人のグループ2つが別々のグループとして扱われ、同じ分け方が重複してカウントされることがあります。例えば、「ABCDEF」「GH」「IJ」という分け方と、「ABCDEF」「IJ」「GH」という分け方は、実質的には同じ分け方です。
そのため、重複を避けるために、5人のグループを作る段階で、2つの2人組のグループを同時に作ってしまう方法を使います。つまり、5人のグループを作った後、残った4人から2人ずつのグループを作るという手順ではなく、残りの4人から2人ずつのグループを作る前に、まず9人から5人と4人を同時に選ぶ方法をとるのです。
この方法で考えると、5人のグループを作る選び方と、残りの4人から2人ずつのグループを作る選び方を同時に考えることができます。この選び方の組み合わせの数は、「9C5 × 4C2／2!」となります。ここで、最後の「2!」は、2人から2人の組み合わせを並び替えたときの重複を除くためのものです。

よって、答えは、「9C5 × 4C2／2! = 1260」となります。

回答No.2

kiha181-tubasa

＞５人を計算に入れないのはなぜですか？

　２人組２つを作ったら，残りの５人で５人組は自動的に決まってしまうからです。
（つまり，残りの５人で５人組を作る方法は１通りです。計算を書いても5Ｃ5＝1です）

※(補足)　３人組３つのような「組の特徴がない」場合の組み分けは注意が必要です。

（１）３人ずつＡ，Ｂ，Ｃの３組に分けるのは「組に名前が付いている」ので組の特徴があります。
（２）９人を４人と３人と２人の３組に分けるのは「人数に違いがある」ので組に特徴があります。
（３）９人を３人ずつの３組に分けるのは「組に特徴がない」組み分けです。

（１）はＡ組の３人を選び，残りの６人からＢ組の３人を選び，残り３人は自動的にＣ組になると考えて計算ができます。
　9C3*6C3
（２）は４人組の４人を選び，残りの５人から３人組の３人を選び，残りの２人は自動的に２人組となります。
（３）は注意が必要です。
　３人ずつの３組を作り，その組にＡ組，Ｂ組，Ｃ組の名前のつけ方が３！ありますね。ですから，（３）の分け方の数Pに３！をかけると（１）の分け方の数になります。
つまりP*3！＝　9C3*6C3ですから，P=(9C3*6C3)/3！

回答No.1

pfarm

問題の条件は、9人を3つのグループに分けることです。グループの人数が5人、2人、2人の場合、5人のグループを選ぶ方法は9人から5人を選ぶことで、その組み合わせの数は9C5通りです。
残りの4人を2人ずつのグループに分ける場合、残りの人数が偶数であるため、2人のグループを作る方法は2つあります。ただし、2人のグループ同士の順序は問わないため、最終的な答えには2!で割ります。
よって、分け方の総数は9C5 × (9-5)C2 × (9-5-2)C2 / 2! となり、計算すると1260通りになります。
つまり、5人のグループを分ける際には、9C5通りの選び方がありますが、その後の2人ずつのグループの分け方は、5人のグループには関係がないため、5人のグループの選び方は独立して計算できます。