組み合わせの問題なのですが

質問

男６人、女３人をそれぞれ男２人、女１人からなる３つのグループに分ける分け方（ただしグループには人数以外の区別をつけないとする）なのですが、自分でやった計算とと解説が違っていました。答えは合っていたのですが。

(6C2・3・4C2・2)÷3！=90通り

普通に男２人女１人のグループをつくって3！で割っただけなのですが、解答では、
「３人の女それぞれに対して男２人を振り分けてグループを作ると考えれば、そのわけ方は、

6C2・4C2=90通り

となっていました。問題文で「ただしグループには人数以外の区別をつけないとする」と書いてあったので、6C2・4C2=90通りを3！で割らないと行けないのではないでしょうか。また、私のやり方でも良いのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.7

hinebot · ベストアンサー

お礼拝見しました。懲りずにまた登場です。
>確率の問題の場合、人間は区別して考えるというのが鉄則だと聞いたのですが、この場合は『グループ』だけその鉄則は無視して考えるということですよね。

はい。そういうことですね。（というか、ちょっと難しく考えすぎじゃないですか？）
区別する・しないは、順列（順序を考慮する）と組合せ（順序は無視する）の考え方と同じです。

この問題の場合ですと、
仮に男6人をA,B,C,D,E,F、女3人をa,b,cとします。
→この時点で人間は区別して考えてますね。
また、グループをＸ，Ｙ，Ｚとします。
ここで、
(1)Ｘ＝{A,B,a} Ｙ＝{C,D,b} Ｚ＝{E,F,c}
(2)Ｘ＝{E,F,c} Ｙ＝{A,B,a} Ｚ＝{C,D,b}
の２つの分け方について考えます。
(1)と(2)は別の分け方であるとするなら、
「グループには（男2人女1人の）人数以外の区別を付ける」ことになります。
一方、(1)も(2)も{A,B,a},{C,D,b},{E,F,c}と分かれることには変わりなく、同じ分け方としますよ、というのが「グループには区別を付けない」ということです。

お礼

hinebotさん何度も足を運んでいただいて本当にどうもありがとうございます。う～んたしかにちょっと難しく考えすぎでした。とてもシンプルな考え方で十分なんですね。グループに名前を付けてからないものと考えるとすごくわかりやすかったです。私もまねできるように頑張りたいです。どうもありがとうございました！！

回答No.6

stomachman

hinebotさんの回答でオッケーと思います。んでも、ちょっと別の言い方をしてみましょう。

解法1
グループに名前をつけて区別する場合、
３人の女から第Aグループに１人入れる…3C1通り。
３人の女から第Bグループに１人入れる…2C1通り。
残りの女を第Cグループに入れる…１通り。
６人の男から第Aグループに２人入れる…6C2通り。
４人の男から第Bグループに２人入れる…4C2通り。
残りの男を第Cグループに入れる…１通り。
ですから、
(3・2・6C2・4C2) = 540通り。
で、グループの区別を付けないために、グループの名前を付け替える並べ替え方が何通りあるかを数えると3!通り。
だから答は
(6C2・3・4C2・2)/3!
でオッケーです。

解法2
女３人をA,B,Cとして、グループの名前としてその女の名前を採用する。そして
６人の男から第Aグループに２人入れる…6C2通り。
４人の男から第Bグループに２人入れる…4C2通り。
残りの男を第Cグループに入れる…１通り。
だから答は
6C2・4C2
でオッケーです。

両者を比べてみると、
解法1では、「３人の女A,B,Cがそれぞれ、自分の名前と同じ名前のグループに入っている場合」は540通りのうちの1/3! だけです。グループの名前がどうであるかは気にしないで何通りあるか数える問題ですから、3!で割る必要がある。
解法2では、３人の女A,B,Cの名前は必ずグループの名前と一致しているから、3!で割る必要はない。

お礼

stomachmanさんこんにちは。

＞解法2では、３人の女A,B,Cの名前は必ずグループの名前と一致しているから、3!で割る必要はない。

なるほど、そういうことですか～～。ニブイ私でもとてもよくわかりました。うんうん。なぜ割らないのかという問題がクリアーできて良かったです。これで夜もぐっすり眠れます。どうもありがとうございました。

回答No.5

hinebot

チクショー！また間違ってしまった！

>入る部屋の順番の決め方は　最初の部屋は３通り、次の部屋は2通り、最後の部屋は1通りの選び方ができるので、3!通り

入る部屋の順番は関係ないですね。
正しくは「グループは３つできて、そのでき方（順番）が3!通り」です。

今度こそ、今度こそＯＫです。

お礼

わーい！hinebotさんお返事どうもありがとうございます。何度もお返事していただいて不肖私感動しております。「部屋に入れる」んですね。すんばらしくわかりやすいです。なーるほど。だいたい理解できたのですが、少し気になったところがあるので、おたずねしても良いでしょうか。それは、問題文の「ただしグループには人数以外の区別をつけないとする」という文句の解釈なのですが、これは、人間の個性や特徴を消して考えるということではないのでしょうか。女の子一人ずつに分かれたときは、部屋のようなものをそえぞれが作れるということは、この場合は、個性を発揮しているわけですよね。集団の時は、のっぺらぼうで、区別がつかないのに、なぜ、一人に分かれたときに特徴ある一人の人間に突如として変身するのか混乱したのですが、問題文をよく読んでみると、「ただし『グループ』には人数以外の区別をつけないとする」というように『グループ』とわざわざ指定していることから、グループでないときは、唯一無二の人間なるということだと解釈して良いんですよね。確率の問題の場合、人間は区別して考えるというのが鉄則だと聞いたのですが、この場合は『グループ』だけその鉄則は無視して考えるということですよね。何度もフォローしてくださったのにまたまた尋ねてすいません(^^)

回答No.4

hinebot

本当に何度も済みません。s-wordさんはすでに納得されているかもしれませんが、私自身、#3の解説でもおかしい（本質的には同じなんですが、語句がおかしい）ことに気づきまして。
もう一度、頭から書かせてください。

グループに分けるを「部屋に入れる」と考えてみましょう。
「ただしグループには人数以外の区別をつけないとする」は「入る部屋の区別はしない」と読み替えれます。

・前者(s-wordさんの式)の場合
　最初の部屋に入るグループの選び方　6C2・3 通り
　次の部屋に入るグループの選び方　　4C2・2 通り
　（この時点で残りの部屋に入るグループも決まるので）全体の選び方= 6C2・3・4C2・2 通り

　入る部屋の順番の決め方は　最初の部屋は３通り、次の部屋は2通り、最後の部屋は1通りの選び方ができるので、3!通り
これが重複するので、求める答えは(6C2・3・4C2・2)÷3！=90通り

・後者(解答の方)の場合
　部屋数と女の数が１：１なので、先に女だけ1人づつそれぞれの部屋に入れてしまいます。
　このとき、「入る部屋の区別はしない」ので誰がどの部屋に入っても同じだから、女が部屋を選ぶ時の選び方は無視できる。
後は男の選び方だけ考えればよい。
　最初の部屋に入る男の選び方　6C2
　次の部屋に入る男の選び方　4C2
　（この時点で最後の部屋に入る男の組も決まるので）答えは6C2・4C2=90通り

これで、今度こそカンペキ！（だと思うんですが）
← 一応、アドバイスから回答に変えました。

回答No.3

hinebot

何度も済みません。
よくよく考えると#2での補足はちょっとおかしいですね。
そもそも#1で
「選択順と部屋そのものを区別しないための重複分を割る作業が必要 」
としたのが、間違いで
「部屋そのものを区別しないための重複分を割る作業が必要」
だけでいいんですね。
（選択順の重複は、6C2などとした段階ですでに排除されてますから）

あらためて解説。#1の「分かりにくければ…」以降を下記に読み替えてください。
また、#2の回答は無視してください。

分かりにくければ、グループに分けるを「部屋に入れる」と考えてみましょう。
・前者は、全員を部屋に入れる前に分け方を考えたもの（部屋そのものを区別しないための重複分を割る作業が必要）
　最初のグループの選び方　6C2・3
　次のグループの選び方　　4C2・2
　（この時点で最後のグループも決まるので）全体の選び方= 6C2・3・4C2・2
　部屋の選び方の重複は　最初のグループは３通り、次のグループは2通り、最後のグループは1通りの選び方ができるので、3!通り
　よって、求める答えは(6C2・3・4C2・2)÷3！=90通り

・後者は、先に女だけそれぞれの部屋に入れて、男の入れ方だけ考えたもの（この場合は重複は発生しない）
　最初の部屋に入る男の選び方　6C2
　次の部屋に入る男の選び方　4C2
　（この時点で最後の部屋に入る男の組も決まるので）答えは6C2・4C2=90通り

と考えれば納得されるのではないでしょうか。

回答No.2

hinebot

お分かりかも知れませんが、念のため補足。
>選択順と部屋そのものを区別しないための重複分を割る作業が必要
ここですが、２グループまで決まれば、残りの１グループは一意に決まりますので、選択順による重複は２です。
また、部屋そのものを区別しないための重複は部屋数すなわち３です。
これらは独立してますから、結果として2・3=6 が重複分になります。

←ここで自信なし(#1の回答でも)にしているのは、内容は自信ありですが、s-wordさんに納得いただけるか、という自信がないためです。

回答No.1

hinebot

どっちでも正解じゃないですか。
(6C2・3・4C2・2)÷3！=90通り
これは、女の分け方も考慮にいれて式を立てたもの
＝男の選び方と女の選び方を考えて、重複分(3!)で割った

6C2・4C2=90通り
これは、女は1グループ１人（つまり１：１）なので、男だけ考えたもの
＝最初から女を３つに分けて、それぞれに男を当てはめた
ですね。

分かりにくければ、グループに分けるを「部屋に入れる」と考えてみましょう。
・前者は、全員を部屋に入れる前に分け方を考えたもの（選択順と部屋そのものを区別しないための重複分を割る作業が必要）
・後者は、先に女性だけそれぞれの部屋に入れて、男性の入れ方だけ考えたもの（この場合は重複は発生しない）
と考えれば理解できませんか？